Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir gözlemde davranış kategorileri neden veri toplamadan önce işevuruk olarak tanımlanır?
- AGözlemin bir deneye dönüşmesi için
- BKatılımcıların neyin kaydedildiğini tam olarak bilmesi için
- CVeriler görüldükten sonra hipotezin değiştirilebilmesi için
- DGözlemcilerin aynı davranışları tutarlı biçimde kaydetmesi ve güvenirliğin artması için
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı yeni bir kaygı ölçeğinin depresyondan farklı bir şey ölçtüğünü göstermek istiyor. Bir depresyon ölçeğiyle düşük korelasyonlar neyi destekler?
- AGörünüş geçerliğini
- BYordama geçerliğini
- CBirleşen geçerliği
- DAyırt edici geçerliği
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 59, 59, 59, 26, 59, 55, 25.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 56,25'ün üstündedir?
μ = 50σ = 5x = 56,25
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35
σ =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 4. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2Y = 5X + 4
σY =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,7699 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,7699
z =
8.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %10 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 65 puanσ = 10 puan10%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 147 h, bilinen standart sapma 10 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 133 h, bilinen standart sapma 15 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 30x̄₁ = 147 hσ₁ = 10 hn₂ = 80x̄₂ = 133 hσ₂ = 15 h90%
üst sınır = h
10.Güven aralıklarıZor
İşlenmiş 16 milin çaplarının örneklem standart sapması 5,5 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 15 ile χ² dağılımının %2,5’i 6,262 değerinin altında, %2,5’i 27,488 değerinin üstündedir.
n = 16s = 5,5 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 187, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 200x̄ = 187s = 20n = 16
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 300 hastadan 135’i, B tedavisi alan 120 hastadan 60’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 135n₁ = 300x₂ = 60n₂ = 120
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 30Σy = 59Σx² = 220Σy² = 811Σxy = 420
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 42) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(2,5, 42)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 2202 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
3 satır ve 4 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Gözlemcilerin aynı davranışları tutarlı biçimde kaydetmesi ve güvenirliğin artması için
Cevap neden bu
Açık, gözlenebilir kategoriler (örneğin "açık elle vurur") öznel yargıyı azaltır ve gözlemciler arası güvenirliği artırır.
Cevap
D · Gözlemcilerin aynı davranışları tutarlı biçimde kaydetmesi ve güvenirliğin artması için
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Ayırt edici geçerliği
Cevap neden bu
Ayırt edici (ıraksak) geçerlik, bir ölçüm farklı yapıların ölçümleriyle zayıf korelasyon gösterdiğinde ortaya çıkar. Birleşen geçerlik aynı yapının ölçümleriyle yüksek korelasyondur.
Cevap
D · Ayırt edici geçerliği
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 16,03
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 342/7 = 48,86
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 10,14² + 10,14² + 10,14² + (−22,86)² + 10,14² + 6,143² + (−23,86)² = 1541
Standart sapma
s = √(1541/6) = 16,03
Cevap
s = 16,03
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,1056
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,25
Standart normal tablo
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Cevap
P = 0,1056
5.Olasılık
Cevap: σ = 10,9
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 10·0,15 + 20·0,3 + 30·0,2 + 40·0,35 = 27,5
Karelerin ortalaması
E(X²) = 100·0,15 + 400·0,3 + 900·0,2 + 1600·0,35 = 875
Varyans
Var(X) = 875 − 27,5² = 118,8
σ = √118,8 = 10,9
Cevap
σ = 10,9
6.Olasılık
Cevap: σY = 5,449
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 2,25, Var(X) = 1,188, σX = 1,09
Doğrusal değişim
σY = |5|·1,09 = 5,449
Cevap
σY = 5,449
Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·2,25 + 4 = 15,25.
7.Normal dağılım
Cevap: z = 1,2
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,7699)/2 = 0,8849
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,8849 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 1,20
Cevap
z = 1,20
8.Normal dağılım
Cevap: x = 52,2 puan
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,1
Tablodan z
z ≈ −1,28
Özgün birimlere geri dönüş
x = 65 − 1,28·10 = 52,2 puan
Cevap
x = 52,2 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 18,08 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 147 − 133 = 14
Standart hata
SE = √(10²/30 + 15²/80) = 2,479
Hata payı
E = 1,645·2,479 = 4,078
Aralık
14 ± 4,078 → [9,922, 18,08]
Cevap
üst sınır = 18,08 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
10.Güven aralıkları
Cevap: σ = 4,063 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
Kareler toplamı
(n − 1)s² = 15·5,5² = 453,8
σ² için sınırlar
453,8/27,488 = 16,51
453,8/6,262 = 72,46
σ için sınır
σ = √16,51 = 4,063 µm
Cevap
σ = 4,063 µm
σ için %95 aralık: [4,063, 8,512] µm.
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −2,6
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Test istatistiği
t = (187 − 200)/5 = −2,6
Cevap
t = −2,6
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −0,9282
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 135/300 = 0,45
p̂₂ = 60/120 = 0,5
p̂ = 195/420 = 0,4643
H₀ altında standart hata
SE = √(0,4643·0,5357·(1/300 + 1/120)) = 0,05387
Test istatistiği
z = (0,45 − 0,5)/0,05387 = −0,9282
Cevap
z = −0,9282
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,974
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 420 − 30·59/5 = 66
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 811 − 59²/5 = 114,8
Korelasyon katsayısı
r = 66/√(40·114,8) = 0,974
Cevap
r = 0,974
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −3,9
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 243/5 = 48,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Regresyon doğrusu
b = 54/10 = 5,4
a = 48,6 − 5,4·3 = 32,4
ŷ = 32,4 + 5,4·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 32,4 + 5,4·2,5 = 45,9
Artık
e = 42 − 45,9 = −3,9
Cevap
e = −3,9
Nokta doğrunun altındadır.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 1,564
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
gündüz vardiyası: 120·44/220 = 24, 120·66/220 = 36, 120·110/220 = 60
gece vardiyası: 100·44/220 = 20, 100·66/220 = 30, 100·110/220 = 50
Ki-kare istatistiği
χ² = (24 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36 + (64 − 60)²/60 + (20 − 20)²/20 + (34 − 30)²/30 + (46 − 50)²/50
χ² = 1,564
Cevap
χ² = 1,564
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 12,59
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
Tablo
χ²crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592
Cevap
χ²crit = 12,592
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology