Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
İşevuruklaştırma (operasyonelleştirme) ne demektir?
- AAraştırmayı hastane gibi gerçek bir işleyiş ortamında yürütmek
- BKatılımcılara yönerge vermek
- CDeğişkenleri kesin ve ölçülebilir biçimde tanımlamak
- DBir istatistiksel test seçmek
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir psikoloji bölümü katılımcıları yalnızca giriş düzeyi psikoloji derslerinden topluyor. Eleştirmenler örneklemlerin "WEIRD" olduğunu söylüyor. Bu neyi ifade eder?
- AÇalışmalardan erken ayrılan örneklemleri
- BGenellenemeyebilecek Batılı, Eğitimli, Sanayileşmiş, Zengin ve Demokratik örneklemleri
- CDavranışları olağandışı derecede tuhaf olan örneklemleri
- DAğırlıklı seçkisiz yöntemlerle toplanan örneklemleri
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 14, 41, 47, 51, 23.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 112'ün altındadır?
μ = 100σ = 8x = 112
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2
Var(X) =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,25 olasılıkla €50, 0,02 olasılıkla €500 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €10€50: p = 0,25€500: p = 0,02
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 172,75 ile 181,85 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 178σ = 7x1 = 172,75x2 = 181,85
P =
8.Normal dağılımZor
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %85 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 79,5 h, bilinen standart sapma 8 h. Model 2: 60 telefon, ortalama 90 h, bilinen standart sapma 10 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 79,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 60x̄₂ = 90 hσ₂ = 10 h99%
üst sınır = h
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 36. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 36E = 599%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
7 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 1,29 ve farkların standart sapması 3,8. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 7d̄ = 1,29sd = 3,8
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 80 hastadan 32’i, B tedavisi alan 150 hastadan 80’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 80n₂ = 150
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 38 tahmin eder?
n = 5ŷ = 38
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 802 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Tablo gözlenen frekansları gösteriyor. İki değişkenin bağımsız olup olmadığını α = 0,05 düzeyinde test edin (süreklilik düzeltmesi olmadan). Test istatistiği χ² değerini hesaplayın, sonra tablodaki kritik değerle karşılaştırın.
N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Değişkenleri kesin ve ölçülebilir biçimde tanımlamak
Cevap neden bu
Değişkenleri işevuruklaştırmak, soyut kavramları belirli ölçümlere dönüştürür; böylece araştırma tekrarlanabilir.
Cevap
C · Değişkenleri kesin ve ölçülebilir biçimde tanımlamak
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Genellenemeyebilecek Batılı, Eğitimli, Sanayileşmiş, Zengin ve Demokratik örneklemleri
Cevap neden bu
Henrich ve arkadaşları, psikoloji katılımcılarının çoğunun insanlığı temsil etmeyen WEIRD toplumlardan geldiğini belirtti; bu evren geçerliğini tehdit eder.
Cevap
B · Genellenemeyebilecek Batılı, Eğitimli, Sanayileşmiş, Zengin ve Demokratik örneklemleri
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,97
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 176/5 = 35,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−21,2)² + 5,8² + 11,8² + 15,8² + (−12,2)² = 1021
Standart sapma
s = √(1021/4) = 15,97
Cevap
s = 15,97
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9332
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,5
Standart normal tablo
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Cevap
P = 0,9332
5.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,24
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,2 = 1,4
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,2 = 3,2
Varyans
Var(X) = 3,2 − 1,4² = 1,24
Cevap
Var(X) = 1,24
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 12,5 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 40 (p = 0,25), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,73)
Beklenen değer
E(G) = 40·0,25 + 490·0,02 − 10·0,73 = 12,5 €
Cevap
E(G) = 12,5 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,4822
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75
z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55
Aradaki alan
P = Φ(0,55) − Φ(−0,75) = 0,7088 − 0,2266 = 0,4822
Cevap
P = 0,4822
8.Normal dağılım
Cevap: x = 458 h
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,15
Tablodan z
z ≈ −1,04
Özgün birimlere geri dönüş
x = 500 − 1,04·40 = 458 h
Cevap
x = 458 h
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = −6,588 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 79,5 − 90 = −10,5
Standart hata
SE = √(8²/100 + 10²/60) = 1,519
Hata payı
E = 2,576·1,519 = 3,912
Aralık
−10,5 ± 3,912 → [−14,41, −6,588]
Cevap
üst sınır = −6,588 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 344
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·36/5)² = 344
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 344
Cevap
n = 344
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 0,8982
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 3,8/√7 = 1,436
Test istatistiği
t = 1,29/1,436 = 0,8982
Cevap
t = 0,8982
df = 6 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,447; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −1,927
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 32/80 = 0,4
p̂₂ = 80/150 = 0,5333
p̂ = 112/230 = 0,487
H₀ altında standart hata
SE = √(0,487·0,513·(1/80 + 1/150)) = 0,0692
Test istatistiği
z = (0,4 − 0,5333)/0,0692 = −1,927
Cevap
z = −1,927
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9954
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 398/5 = 79,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1009
Korelasyon katsayısı
r = 200/√(40·1009) = 0,9954
Cevap
r = 0,9954
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 3,405
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 201/5 = 40,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37
Regresyon doğrusu
b = 37/10 = 3,7
a = 40,2 − 3,7·4 = 25,4
ŷ = 25,4 + 3,7·x
x için çözün
x = (38 − 25,4)/3,7 = 3,405
Cevap
x = 3,405
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 7,912
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
erkekler: 40·52/80 = 26, 40·28/80 = 14
kadınlar: 40·52/80 = 26, 40·28/80 = 14
Ki-kare istatistiği
χ² = (32 − 26)²/26 + (8 − 14)²/14 + (20 − 26)²/26 + (20 − 14)²/14
χ² = 7,912
Cevap
χ² = 7,912
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 20,4
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
A fabrikası: 36, 24
B fabrikası: 36, 24
C fabrikası: 48, 32
Ki-kare istatistiği
χ² = (41 − 36)²/36 + (19 − 24)²/24 + (46 − 36)²/36 + (14 − 24)²/24 + (33 − 48)²/48 + (47 − 32)²/32
χ² = 20,4
Karar
df = 2, χ²crit = 5,991
20,4 > 5,991
Cevap
χ² = 20,4
χ² kritik değerin üzerindedir, bu yüzden H₀ reddedilir: değişkenler ilişkili görünüyor.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology