Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
0,03'lük bir p değeri ne anlama gelir?
- AEtki büyüktür
- BSonuç %97 oranında tekrarlanacaktır
- CSıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
- DGözlenen veriler verildiğinde sıfır hipotezinin doğru olma olasılığı yalnızca %3'tür
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Psikolojideki "tekrarlanabilirlik krizi" neyi ifade eder?
- ADeneyler için katılımcı sıkıntısını
- BDergilerin yasal olarak gönderilen tüm tekrarlama çalışmalarını reddetmek zorunda olması
- CAnketlerin izinsiz kopyalanmasını
- DYayımlanmış birçok bulgunun yeni çalışmalarda tekrarlanamamasını
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 18, 15, 33, 13, 24, 22, 11.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 80'ün üstündedir?
μ = 100σ = 10x = 80
P =
5.OlasılıkOrta
Bir torbada 4 kırmızı ve 4 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?
4 / 4
P =
6.OlasılıkZor
Bir testte 8 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,5 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 8p = 0,5k = 3
P =
7.Normal dağılımOrta
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 76,75 ile 118,75 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 118,75
P =
8.Normal dağılımZor
1. hattan bir ürünün kütlesi X ve 2. hattan olanın kütlesi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 500 g, standart sapması 8 g; Y’nin ortalaması 490 g, standart sapması 6 g’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.Güven aralıklarıOrta
20 birimlik bir örneklemin ortalaması 22,5 ve standart sapması s = 4. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 20x̄ = 22,5s = 499%t(19) = 2,861
alt sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,01 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0199%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 60 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 58 mm ve hattın bilinen standart sapması 12 mm. Hat 2: 50 parçalık bir örneklemin ortalaması 63,4 mm, bilinen standart sapması 9 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 60x̄₁ = 58 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 50x̄₂ = 63,4 mmσ₂ = 9 mm
z =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ > 80 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 18 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 86’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 86σ = 18n = 36α = 0,05
1 − β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (20,5, 91) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(20,5, 91)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 6 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Sıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
Cevap neden bu
p değeri, sıfır hipotezi doğru olsaydı gözlenenler kadar ya da daha uç sonuçların elde edilme olasılığıdır. Bir hipotezin doğru olma olasılığını veya etkinin büyüklüğünü vermez.
Cevap
C · Sıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Yayımlanmış birçok bulgunun yeni çalışmalarda tekrarlanamamasını
Cevap neden bu
Büyük tekrarlama projeleri, birçok etkinin daha küçük olduğunu ya da hiç olmadığını buldu; bu, yayın yanlılığı, küçük örneklemler ve esnek analizlerle ilişkilidir. Ön kayıt bir yanıttır.
Cevap
D · Yayımlanmış birçok bulgunun yeni çalışmalarda tekrarlanamamasını
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 7,591
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 136/7 = 19,43
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−1,429)² + (−4,429)² + 13,57² + (−6,429)² + 4,571² + 2,571² + (−8,429)² = 345,7
Standart sapma
s = √(345,7/6) = 7,591
Cevap
s = 7,591
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9772
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −2
Standart normal tablo
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Cevap
P = 0,9772
5.Olasılık
Cevap: P = 0,2143
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Birinci ve ikinci çekiş
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Cevap
P = 0,2143
6.Olasılık
Cevap: P = 0,2188
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 3) = 56·0,53·0,55 = 56·0,125·0,03125 = 0,2188
Cevap
P = 0,2188
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8338
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25
Aradaki alan
P = Φ(1,25) − Φ(−1,55) = 0,8944 − 0,06057 = 0,8338
Cevap
P = 0,8338
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8413
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/10 = −1
Olasılık
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 19,94
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 19, t = 2,861
Hata payı
E = 2,861·4/√20 = 2,559
Aralık
22,5 ± 2,559 → [19,94, 25,06]
Cevap
alt sınır = 19,94
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 16590
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589
Yukarı yuvarlayın
n = 16590
Cevap
n = 16590
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −2,693
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(12²/60 + 9²/50) = √4,02 = 2,005
Test istatistiği
z = (58 − 63,4)/2,005 = −2,693
Cevap
z = −2,693
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 63,87 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 80 + 1,645·3 = 84,94
Gerçek ortalama altında z
z = (84,94 − 86)/3 = −0,355
Güç
güç = P(Z > −0,355) = 63,87%
1 − β = 63,87%
Cevap
1 − β = 63,87%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9855
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 436/6 = 72,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Syy = Σ(y − ȳ)² = 807,3
Belirlilik katsayısı
r² = 236²/(70·807,3) = 0,9855
Cevap
r² = 0,9855
y’deki değişimin yaklaşık %98,55’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 2,943
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 612/6 = 102
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 732
Regresyon doğrusu
b = 732/157,5 = 4,648
a = 102 − 4,648·23,5 = −7,219
ŷ = −7,219 + 4,648·x
Tahmin edilen değer
ŷ = −7,219 + 4,648·20,5 = 88,06
Artık
e = 91 − 88,06 = 2,943
Cevap
e = 2,943
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 28,23
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
kentsel: 120·40/160 = 30, 120·56/160 = 42, 120·64/160 = 48
kırsal: 40·40/160 = 10, 40·56/160 = 14, 40·64/160 = 16
Ki-kare istatistiği
χ² = (29 − 30)²/30 + (55 − 42)²/42 + (36 − 48)²/48 + (11 − 10)²/10 + (1 − 14)²/14 + (28 − 16)²/16
χ² = 28,23
Cevap
χ² = 28,23
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 13,28
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 6 − 1 − 1 = 4
Tablo
χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277
Cevap
χ²crit = 13,277
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology