Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Ortalamanın standart hatası ne zaman küçülür?
- AÖrneklem büyüklüğü arttığında
- BÖrneklem büyüklüğü azaldığında
- COrtalama arttığında
- DDeğişken sıralama düzeyinde ölçüldüğünde
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir çalışma stresin hastalık üzerindeki etkisinin güçlü sosyal desteği olan kişilerde daha zayıf olduğunu buluyor. Sosyal destek burada ne işlev görür?
- AAracı (mediatör)
- BDüzenleyici (moderatör)
- CKarıştırıcı
- DBağımlı değişken
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 16, 29, 60, 22, 44, 26.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 107,5'ün altındadır?
μ = 100σ = 5x = 107,5
P =
5.OlasılıkOrta
15 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.
n = 15k = 3
N =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 0,5X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2Y = 0,5X − 3
σY =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,6629 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,6629
z =
8.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %25 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
9.Güven aralıklarıOrta
13 birimlik bir örneklemin ortalaması 46 ve standart sapması s = 4,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 13x̄ = 46s = 4,590%t(12) = 1,782
üst sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 20E = 395%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 50 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 70,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 12 mm. Hat 2: 30 parçalık bir örneklemin ortalaması 79 mm, bilinen standart sapması 20 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 50x̄₁ = 70,5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 30x̄₂ = 79 mmσ₂ = 20 mm
z =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
36 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 500,9. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 500,9σ = 5n = 3695%
L =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 42Σy = 181Σx² = 364Σy² = 6699Σxy = 1560
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 16 tahmin eder?
n = 6ŷ = 16
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 2002 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
4 satır ve 4 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
4 × 4
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Örneklem büyüklüğü arttığında
Cevap neden bu
Standart hata, örneklem ortalamalarının evren ortalaması çevresinde ne kadar değiştiğini tahmin eder. Daha büyük örneklemler daha kesin tahminler verir.
Cevap
A · Örneklem büyüklüğü arttığında
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Düzenleyici (moderatör)
Cevap neden bu
Düzenleyici değişken, iki değişken arasındaki ilişkinin gücünü veya yönünü değiştirir. Aracı değişken ise bir değişkenin diğerini hangi mekanizmayla etkilediğini açıklar.
Cevap
B · Düzenleyici (moderatör)
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 16,28
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 197/6 = 32,83
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−16,83)² + (−3,833)² + 27,17² + (−10,83)² + 11,17² + (−6,833)² = 1325
Standart sapma
s = √(1325/5) = 16,28
Cevap
s = 16,28
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9332
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,5
Standart normal tablo
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Cevap
P = 0,9332
5.Olasılık
Cevap: N = 455
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasyonlar
C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455
Cevap
N = 455
6.Olasılık
Cevap: σY = 0,9734
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 3,1, Var(X) = 3,79, σX = 1,947
Doğrusal değişim
σY = |0,5|·1,947 = 0,9734
Cevap
σY = 0,9734
Ortalama ise kayar: E(Y) = 0,5·3,1 − 3 = −1,45.
7.Normal dağılım
Cevap: z = 0,96
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,6629)/2 = 0,8315
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,8315 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 0,96
Cevap
z = 0,96
8.Normal dağılım
Cevap: x = 246,7 g
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,25
Tablodan z
z ≈ −0,67
Özgün birimlere geri dönüş
x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g
Cevap
x = 246,7 g
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 48,22
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Hata payı
E = 1,782·4,5/√13 = 2,224
Aralık
46 ± 2,224 → [43,78, 48,22]
Cevap
üst sınır = 48,22
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 171
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·20/3)² = 170,7
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 171
Cevap
n = 171
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −2,111
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(12²/50 + 20²/30) = √16,21 = 4,027
Test istatistiği
z = (70,5 − 79)/4,027 = −2,111
Cevap
z = −2,111
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 499,3
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,96·5/√36 = 1,633
Aralık sınırı
L = 500,9 − 1,633 = 499,3
Cevap
L = 499,3
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,995
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 1560 − 42·181/6 = 293
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 6699 − 181²/6 = 1239
Korelasyon katsayısı
r = 293/√(70·1239) = 0,995
Cevap
r = 0,995
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 4,667
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5
Regresyon doğrusu
b = −42,5/17,5 = −2,429
a = 18,83 − (−2,429)·3,5 = 27,33
ŷ = 27,33 − 2,429·x
x için çözün
x = (16 − 27,33)/(−2,429) = 4,667
Cevap
x = 4,667
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 1,28
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
erkekler: 100·100/200 = 50, 100·100/200 = 50
kadınlar: 100·100/200 = 50, 100·100/200 = 50
Ki-kare istatistiği
χ² = (54 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50
χ² = 1,28
Cevap
χ² = 1,28
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 9
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9
Cevap
df = 9
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology