Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Aynı 25 katılımcı kafeinden önce ve sonra bir bellek testini tamamlıyor. Puanlar eşit aralıklı ve yaklaşık normal. Hangi test uygundur?
- ABağımsız örneklemler t testi
- BKi-kare testi
- CMann–Whitney U testi
- DEşleştirilmiş (ilişkili) örneklemler t testi
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Birçok araştırmacı neden p değerlerinin etki büyüklükleri ve güven aralıklarıyla birlikte raporlanması gerektiğini savunur?
- AGüven aralıkları yalnızca nitel araştırmada gereklidir
- BBir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez
- CP değerleri hipotezin doğru olma olasılığını gösterir
- DEtki büyüklükleri örneklem büyüklüğünü anlamlılık açısından önemsiz kılar
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 30, 27, 12, 21, 51, 19.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 80'ün üstündedir?
μ = 50σ = 20x = 80
P =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 8 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 8
P =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,2 olasılıkla €15, 0,05 olasılıkla €250 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €5€15: p = 0,2€250: p = 0,05
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9793 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9793
z =
8.Normal dağılımZor
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %60 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
9.Güven aralıklarıOrta
21 birimlik bir örneklemin ortalaması 61 ve standart sapması s = 5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 21x̄ = 61s = 595%t(20) = 2,086
üst sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 26. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 26E = 290%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 40 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 98 mm ve hattın bilinen standart sapması 8 mm. Hat 2: 50 parçalık bir örneklemin ortalaması 100,7 mm, bilinen standart sapması 8 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 40x̄₁ = 98 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 50x̄₂ = 100,7 mmσ₂ = 8 mm
z =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 196,6. Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 196,6σ = 12n = 10099%
U =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 15Σy = 108Σx² = 55Σy² = 2384Σxy = 302
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 63) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(4,5, 63)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “gece vardiyası, küçük kusur” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 71sütun toplamı = 28N = 145
E =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 4 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Eşleştirilmiş (ilişkili) örneklemler t testi
Cevap neden bu
Eşleştirilmiş t testi, her kişinin içindeki farkları kullanarak aynı katılımcıların iki koşuldaki ortalamalarını karşılaştırır.
Cevap
D · Eşleştirilmiş (ilişkili) örneklemler t testi
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Bir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez
Cevap neden bu
Bir p değeri büyük ölçüde örneklem büyüklüğüne bağlıdır ve yalnızca sıfır hipotezi altında verilerin ne kadar şaşırtıcı olduğunu gösterir. Etki büyüklükleri büyüklüğü, aralıklar ise kesinliği gösterir.
Cevap
B · Bir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 13,49
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 160/6 = 26,67
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 3,333² + 0,3333² + (−14,67)² + (−5,667)² + 24,33² + (−7,667)² = 909,3
Standart sapma
s = √(909,3/5) = 13,49
Cevap
s = 13,49
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,06681
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,5
Standart normal tablo
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Cevap
P = 0,06681
5.Olasılık
Cevap: P = 0,7674
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Cevap
P = 0,7674
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 10,5 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 10 (p = 0,2), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,75)
Beklenen değer
E(G) = 10·0,2 + 245·0,05 − 5·0,75 = 10,5 €
Cevap
E(G) = 10,5 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: z = −2,04
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,9793 = 0,0207
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,0207 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = −2,04
Cevap
z = −2,04
8.Normal dağılım
Cevap: x = 179,8 cm
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,6
Tablodan z
z ≈ 0,25
Özgün birimlere geri dönüş
x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm
Cevap
x = 179,8 cm
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 63,28
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Hata payı
E = 2,086·5/√21 = 2,276
Aralık
61 ± 2,276 → [58,72, 63,28]
Cevap
üst sınır = 63,28
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 458
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·26/2)² = 457,3
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 458
Cevap
n = 458
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −1,591
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(8²/40 + 8²/50) = √2,88 = 1,697
Test istatistiği
z = (98 − 100,7)/1,697 = −1,591
Cevap
z = −1,591
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 199,7
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 2,576·12/√100 = 3,091
Aralık sınırı
U = 196,6 + 3,091 = 199,7
Cevap
U = 199,7
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9723
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 302 − 15·108/5 = −22
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2384 − 108²/5 = 51,2
Korelasyon katsayısı
r = −22/√(10·51,2) = −0,9723
Cevap
r = −0,9723
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 4,05
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 252/5 = 50,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
Regresyon doğrusu
b = 57/10 = 5,7
a = 50,4 − 5,7·3 = 33,3
ŷ = 33,3 + 5,7·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 33,3 + 5,7·4,5 = 58,95
Artık
e = 63 − 58,95 = 4,05
Cevap
e = 4,05
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 13,71
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 71·28/145 = 13,71
Cevap
E = 13,71
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 5,991
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 4 − 1 − 1 = 2
Tablo
χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991
Cevap
χ²crit = 5,991
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology