Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
İç geçerlik neyi ifade eder?
- AGözlenen etkinin başka etkenlerden değil gerçekten bağımsız değişkenden kaynaklanıp kaynaklanmadığını
- BBir testin zaman içinde aynı sonuçları verip vermediğini
- CBulguların çalışmanın ötesinde diğer evrenlere, ortamlara ve zamanlara genellenip genellenemeyeceğini
- DKatılımcıların çalışmayı ilginç bulup bulmadığını
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir çalışma yalnızca profesyonel basketbolcularda boy ile IQ arasında r = 0,05'lik bir korelasyon buluyor; genel evrende ise korelasyon daha yüksek. Zayıf korelasyonu en iyi ne açıklar?
- ATalep özellikleri
- BRanj kısıtlılığı
- CIQ testlerinde tavan etkisi
- DOrtalamaya gerileme
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 20, 43, 39, 40, 35, 58.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 75 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 425'ün altındadır?
μ = 500σ = 75x = 425
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,2 olasılıkla €6, 0,05 olasılıkla €40 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €2€6: p = 0,2€40: p = 0,05
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,6579 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,6579
z =
8.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %95 olan x değerini bulun (95. yüzdelik).
μ = 65σ = 10P = 95%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
21 birimlik bir örneklemin ortalaması 33 ve standart sapması s = 4. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 21x̄ = 33s = 495%t(20) = 2,086
alt sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 37. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 37E = 0,595%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 76,36, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 75x̄ = 76,36s = 4n = 25
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 14. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,05güç = 95%δ = 3σ = 14zα = 1,645zβ = 1,645
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 21Σy = 118Σx² = 91Σy² = 2354Σxy = 391
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 19,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 19,5
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “öğrenciler, otobüs” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 63sütun toplamı = 39N = 123
E =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 5 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Gözlenen etkinin başka etkenlerden değil gerçekten bağımsız değişkenden kaynaklanıp kaynaklanmadığını
Cevap neden bu
Yüksek iç geçerlik, karıştırıcılar, talep özellikleri veya deneyci yanlılığı gibi alternatif açıklamaların dışlandığı anlamına gelir. Dış geçerlik genellemeyle ilgilidir.
Cevap
A · Gözlenen etkinin başka etkenlerden değil gerçekten bağımsız değişkenden kaynaklanıp kaynaklanmadığını
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Ranj kısıtlılığı
Cevap neden bu
Bir örneklem bir değişkenin yalnızca dar bir aralığını kapsadığında, o değişkeni içeren korelasyonlar azalır. Basketbolcuların hepsi uzundur; bu yüzden boy çok az değişir.
Cevap
B · Ranj kısıtlılığı
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 12,29
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 235/6 = 39,17
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−19,17)² + 3,833² + (−0,1667)² + 0,8333² + (−4,167)² + 18,83² = 754,8
Standart sapma
s = √(754,8/5) = 12,29
Cevap
s = 12,29
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,1587
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −1
Standart normal tablo
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Cevap
P = 0,1587
5.Olasılık
Cevap: Var(X) = 0,6475
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Varyans
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Cevap
Var(X) = 0,6475
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 1,2 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 4 (p = 0,2), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,75)
Beklenen değer
E(G) = 4·0,2 + 38·0,05 − 2·0,75 = 1,2 €
Cevap
E(G) = 1,2 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: z = 0,95
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,6579)/2 = 0,8289
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,8289 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 0,95
Cevap
z = 0,95
8.Normal dağılım
Cevap: x = 81,45 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
x’e geri dönüş
x = 65 + 1,645·10 = 81,45 puan
Cevap
x = 81,45 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 31,18
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Hata payı
E = 2,086·4/√21 = 1,821
Aralık
33 ± 1,821 → [31,18, 34,82]
Cevap
alt sınır = 31,18
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 21037
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·37/0,5)² = 21037
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 21037
Cevap
n = 21037
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,7
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Test istatistiği
t = (76,36 − 75)/0,8 = 1,7
Cevap
t = 1,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 236
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((1,645 + 1,645)·14/3)² = 235,7
Yukarı yuvarlayın
n = 236
Cevap
n = 236
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9109
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 391 − 21·118/6 = −22
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2354 − 118²/6 = 33,33
Korelasyon katsayısı
r = −22/√(17,5·33,33) = −0,9109
Cevap
r = −0,9109
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 85,05
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 525/5 = 105
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 399
Regresyon doğrusu
b = 399/90 = 4,433
a = 105 − 4,433·24 = −1,4
ŷ = −1,4 + 4,433·x
Tahmin
ŷ = −1,4 + 4,433·19,5 = 85,05
Cevap
ŷ = 85,05
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 19,98
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 63·39/123 = 19,98
Cevap
E = 19,98
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 13,28
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 5 − 1 = 4
Tablo
χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277
Cevap
χ²crit = 13,277
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology