Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Yeni bir depresyon anketi hangi öğrencilerin önümüzdeki yıl tedavi arayacağını yordar. Bu hangi tür geçerliği destekler?
- AYordama geçerliği
- BKapsam geçerliği
- CGörünüş geçerliği
- DEş zamanlı geçerlik
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir çalışma yalnızca profesyonel basketbolcularda boy ile IQ arasında r = 0,05'lik bir korelasyon buluyor; genel evrende ise korelasyon daha yüksek. Zayıf korelasyonu en iyi ne açıklar?
- ATalep özellikleri
- BRanj kısıtlılığı
- COrtalamaya gerileme
- DIQ testlerinde tavan etkisi
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 26, 11, 41, 26, 42.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 57,5 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 60σ = 5x = 57,5
z =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 7
P =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,25 olasılıkla €25, 0,02 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €5€25: p = 0,25€100: p = 0,02
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 110,1 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110,1 s
P =
8.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.Güven aralıklarıOrta
16 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 9 ve standart sapması 7,5. Ortalama fark için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 16d̄ = 9sd = 7,599%t(15) = 2,947
üst sınır = mmHg
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 24. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 24E = 0,599%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 80 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 18 olduğu biliniyor. 36 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 76,1. H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 80σ = 18n = 36x̄ = 76,1H₁: μ < μ₀
p =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 16. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,05güç = 80%δ = 2σ = 16zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 36Σy = 317Σx² = 286Σy² = 17719Σxy = 2159
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 25,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 25,5
ŷ =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 10 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Yordama geçerliği
Cevap neden bu
Yordama geçerliği puanlar daha sonraki bir ölçütü yordadığında gösterilir. Eş zamanlı geçerlik aynı anda ölçülen bir ölçüt kullanır.
Cevap
A · Yordama geçerliği
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Ranj kısıtlılığı
Cevap neden bu
Bir örneklem bir değişkenin yalnızca dar bir aralığını kapsadığında, o değişkeni içeren korelasyonlar azalır. Basketbolcuların hepsi uzundur; bu yüzden boy çok az değişir.
Cevap
B · Ranj kısıtlılığı
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 12,79
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 146/5 = 29,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−3,2)² + (−18,2)² + 11,8² + (−3,2)² + 12,8² = 654,8
Standart sapma
s = √(654,8/4) = 12,79
Cevap
s = 12,79
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = −0,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (57,5 − 60)/5 = −0,5
Cevap
z = −0,5
5.Olasılık
Cevap: P = 0,7209
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Cevap
P = 0,7209
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 3,25 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 20 (p = 0,25), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)
Beklenen değer
E(G) = 20·0,25 + 95·0,02 − 5·0,73 = 3,25 €
Cevap
E(G) = 3,25 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,2119
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standartlaştırın
z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Cevap
P = 0,2119
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7881
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 14,53 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 15, t = 2,947
Hata payı
E = 2,947·7,5/√16 = 5,526
Aralık
9 ± 5,526 → [3,474, 14,53]
Cevap
üst sınır = 14,53 mmHg
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 15289
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·24/0,5)² = 15289
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 15289
Cevap
n = 15289
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,0968
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (76,1 − 80)/3 = −1,3
Kuyruk alanı
Φ(1,3) = 0,9032
1 − Φ(1,3) = 0,0968
p-değeri
p = 0,0968
Cevap
p = 0,0968
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 396
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((1,645 + 0,842)·16/2)² = 395,9
Yukarı yuvarlayın
n = 396
Cevap
n = 396
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9859
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 2159 − 36·317/6 = 257
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 17719 − 317²/6 = 970,8
Korelasyon katsayısı
r = 257/√(70·970,8) = 0,9859
Cevap
r = 0,9859
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 108
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 454/5 = 90,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 345
Regresyon doğrusu
b = 345/90 = 3,833
a = 90,8 − 3,833·21 = 10,3
ŷ = 10,3 + 3,833·x
Tahmin
ŷ = 10,3 + 3,833·25,5 = 108
Cevap
ŷ = 108
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 2,99
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
öğrenciler: 40·35/140 = 10, 40·49/140 = 14, 40·56/140 = 16
personel: 100·35/140 = 25, 100·49/140 = 35, 100·56/140 = 40
Ki-kare istatistiği
χ² = (14 − 10)²/10 + (12 − 14)²/14 + (14 − 16)²/16 + (21 − 25)²/25 + (37 − 35)²/35 + (42 − 40)²/40
χ² = 2,99
Cevap
χ² = 2,99
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 21,67
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 10 − 1 = 9
Tablo
χ²crit(df = 9, α = 0,01) = 21,666
Cevap
χ²crit = 21,666
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology