Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Yaklaşık normal dağılan aralık verileriyle iki bağımsız grubun ortalamalarını karşılaştırmak için hangi test uygundur?
- AWilcoxon işaretli sıralar testi
- BPearson korelasyonu
- CBağımsız örneklemler t testi
- DKi-kare testi
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Gömülü kuramda (grounded theory) veri toplama ne zamana kadar sürer?
- AKuramsal doygunluğa ulaşılıp yeni veriler yeni kategori eklemeyene kadar
- BAsıl hipotez doğrulanana kadar
- CEn az 1,000 katılımcıyla görüşülene kadar
- D0,05'in altında bir p değeri elde edilene kadar
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 31, 14, 12, 37, 10, 30, 11.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 25 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 531,3'ün altındadır?
μ = 500σ = 25x = 531,3
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,05, 0,2
σ =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 1. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3Y = −2X + 1
σY =
7.Normal dağılımOrta
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 53 ile 67 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 65σ = 10x1 = 53x2 = 67
P =
8.Normal dağılımZor
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %20 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
9.Güven aralıklarıOrta
100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 9,7. 900 gözleme dayanan %95 aralığın hata payı E₂ nedir?
99%n₁ = 100E₁ = 9,795%n₂ = 900
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 19. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 19E = 2,599%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 126, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 120x̄ = 126s = 15n = 36
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 8. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 8E = 390%
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 35Σy = 377Σx² = 285Σy² = 29237Σxy = 2819
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (28,5, 73) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(28,5, 73)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1402 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Tablo gözlenen frekansları gösteriyor. İki değişkenin bağımsız olup olmadığını α = 0,01 düzeyinde test edin (süreklilik düzeltmesi olmadan). Test istatistiği χ² değerini hesaplayın, sonra tablodaki kritik değerle karşılaştırın.
N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Bağımsız örneklemler t testi
Cevap neden bu
Bağımsız örneklemler t testi iki grup ortalamasını karşılaştırır. Ki-kare frekanslar içindir; Wilcoxon ise parametrik olmayan verilerle ilişkili örneklemler içindir.
Cevap
C · Bağımsız örneklemler t testi
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Kuramsal doygunluğa ulaşılıp yeni veriler yeni kategori eklemeyene kadar
Cevap neden bu
Gömülü kuram, veri toplama ve kodlamayı birlikte yürüterek kuramı tümevarımsal olarak geliştirir ve yeni veriler kategorileri artık geliştirmediğinde örneklemeyi durdurur.
Cevap
A · Kuramsal doygunluğa ulaşılıp yeni veriler yeni kategori eklemeyene kadar
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 11,46
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 145/7 = 20,71
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 10,29² + (−6,714)² + (−8,714)² + 16,29² + (−10,71)² + 9,286² + (−9,714)² = 787,4
Standart sapma
s = √(787,4/6) = 11,46
Cevap
s = 11,46
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,8944
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,25
Standart normal tablo
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Cevap
P = 0,8944
5.Olasılık
Cevap: σ = 1,466
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,05 + 5·0,2 = 2,5
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,05 + 25·0,2 = 8,4
Varyans
Var(X) = 8,4 − 2,5² = 2,15
σ = √2,15 = 1,466
Cevap
σ = 1,466
6.Olasılık
Cevap: σY = 2,315
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,6, Var(X) = 1,34, σX = 1,158
Doğrusal değişim
σY = |−2|·1,158 = 2,315
Cevap
σY = 2,315
Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·1,6 + 1 = −2,2.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,4642
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2
Aradaki alan
P = Φ(0,2) − Φ(−1,2) = 0,5793 − 0,1151 = 0,4642
Cevap
P = 0,4642
8.Normal dağılım
Cevap: x = 183,9 cm
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,8
Tablodan z
z ≈ 0,84
Özgün birimlere geri dönüş
x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm
Cevap
x = 183,9 cm
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 2,46
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/900) = 0,2536
Yeni hata payı
E₂ = 9,7·0,2536 = 2,46
Cevap
E₂ = 2,46
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 384
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·19/2,5)² = 383,3
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 384
Cevap
n = 384
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,4
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Test istatistiği
t = (126 − 120)/2,5 = 2,4
Cevap
t = 2,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 20
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (1,645·8/3)² = 19,24
Yukarı yuvarlayın
n = 20
Cevap
n = 20
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9993
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 2819 − 35·377/5 = 180
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 29237 − 377²/5 = 811,2
Korelasyon katsayısı
r = 180/√(40·811,2) = 0,9993
Cevap
r = 0,9993
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −4,581
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 364/6 = 60,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 444
Regresyon doğrusu
b = 444/157,5 = 2,819
a = 60,67 − 2,819·22,5 = −2,762
ŷ = −2,762 + 2,819·x
Tahmin edilen değer
ŷ = −2,762 + 2,819·28,5 = 77,58
Artık
e = 73 − 77,58 = −4,581
Cevap
e = −4,581
Nokta doğrunun altındadır.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 4,615
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
yeni ilaç: 80·49/140 = 28, 80·91/140 = 52
plasebo: 60·49/140 = 21, 60·91/140 = 39
Ki-kare istatistiği
χ² = (22 − 28)²/28 + (58 − 52)²/52 + (27 − 21)²/21 + (33 − 39)²/39
χ² = 4,615
Cevap
χ² = 4,615
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 3,778
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
18–30 yaş: 18, 42
31–50 yaş: 18, 42
51+ yaş: 30, 70
Ki-kare istatistiği
χ² = (23 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42 + (19 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (24 − 30)²/30 + (76 − 70)²/70
χ² = 3,778
Karar
df = 2, χ²crit = 9,210
3,778 < 9,210
Cevap
χ² = 3,778
χ² kritik değerin altındadır, bu yüzden H₀ reddedilmez: anlamlı bir ilişki kanıtı yoktur.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology