Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
0,03'lük bir p değeri ne anlama gelir?
- AEtki büyüktür
- BSıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
- CGözlenen veriler verildiğinde sıfır hipotezinin doğru olma olasılığı yalnızca %3'tür
- DSonuç %97 oranında tekrarlanacaktır
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı bir veri kümesi üzerinde 20 analiz yapıyor ve yalnızca p < 0,05 olanı raporluyor. Bu uygulamaya ne denir?
- AP-hacking
- BKarşı dengeleme
- CÜçgenleme
- DÖn kayıt
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 35, 39, 22, 26, 19, 42.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 52'ün altındadır?
μ = 60σ = 10x = 52
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,35, 0,35, 0,15, 0,1
σ =
6.OlasılıkZor
Bir testte 11 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,4 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 11p = 0,4k = 2
P =
7.Normal dağılımOrta
bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 524,7 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 524,7 kg
P =
8.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.Güven aralıklarıOrta
15 birimlik bir örneklemin ortalaması 67 ve standart sapması s = 11. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 15x̄ = 67s = 1190%t(14) = 1,761
üst sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 18. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 18E = 295%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 119, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 120x̄ = 119s = 8n = 49
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 150 hastadan 68’i, B tedavisi alan 80 hastadan 26’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 68n₁ = 150x₂ = 26n₂ = 80
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 115Σy = 406Σx² = 2735Σy² = 34154Σxy = 9662
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3,5, 25) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(3,5, 25)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “kentsel, düşük” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 69sütun toplamı = 53N = 155
E =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 7 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
k = 7
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Sıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
Cevap neden bu
p değeri, sıfır hipotezi doğru olsaydı gözlenenler kadar ya da daha uç sonuçların elde edilme olasılığıdır. Bir hipotezin doğru olma olasılığını veya etkinin büyüklüğünü vermez.
Cevap
B · Sıfır hipotezi doğru olsaydı, bu kadar uç veriler zamanın yaklaşık %3'ünde ortaya çıkardı
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · P-hacking
Cevap neden bu
P-hacking anlamlılık elde etmek için analizdeki esneklikten yararlanır ve yanlış pozitif oranını %5'in çok üzerine çıkarır. Ön kayıt ve şeffaf raporlama bunu azaltır.
Cevap
A · P-hacking
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 9,482
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 183/6 = 30,5
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 4,5² + 8,5² + (−8,5)² + (−4,5)² + (−11,5)² + 11,5² = 449,5
Standart sapma
s = √(449,5/5) = 9,482
Cevap
s = 9,482
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2119
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,8
Standart normal tablo
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Cevap
P = 0,2119
5.Olasılık
Cevap: σ = 1,044
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,35 + 4·0,15 + 5·0,1 = 2,9
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,35 + 16·0,15 + 25·0,1 = 9,5
Varyans
Var(X) = 9,5 − 2,9² = 1,09
σ = √1,09 = 1,044
Cevap
σ = 1,044
6.Olasılık
Cevap: P = 0,08868
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 2) = 55·0,42·0,69 = 55·0,16·0,01008 = 0,08868
Cevap
P = 0,08868
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,3085
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29,39 kg
Standartlaştırın
z = (524,7 − 510)/29,39 = 0,5
Olasılık
P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085
Cevap
P = 0,3085
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7881
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 72
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Hata payı
E = 1,761·11/√15 = 5,002
Aralık
67 ± 5,002 → [62, 72]
Cevap
üst sınır = 72
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 312
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·18/2)² = 311,2
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 312
Cevap
n = 312
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −0,875
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Test istatistiği
t = (119 − 120)/1,143 = −0,875
Cevap
t = −0,875
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 1,886
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 68/150 = 0,4533
p̂₂ = 26/80 = 0,325
p̂ = 94/230 = 0,4087
H₀ altında standart hata
SE = √(0,4087·0,5913·(1/150 + 1/80)) = 0,06806
Test istatistiği
z = (0,4533 − 0,325)/0,06806 = 1,886
Cevap
z = 1,886
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9914
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 9662 − 115·406/5 = 324
Sxx = 2735 − 115²/5 = 90
Syy = 34154 − 406²/5 = 1187
Korelasyon katsayısı
r = 324/√(90·1187) = 0,9914
Cevap
r = 0,9914
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 5,2
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Regresyon doğrusu
b = −24/10 = −2,4
a = 21 − (−2,4)·3 = 28,2
ŷ = 28,2 − 2,4·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 28,2 + (−2,4)·3,5 = 19,8
Artık
e = 25 − 19,8 = 5,2
Cevap
e = 5,2
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 23,59
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 69·53/155 = 23,59
Cevap
E = 23,59
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 6
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 7 − 1 = 6
Cevap
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology