Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir araştırmacı cinsiyet (erkek/kadın) ile tercih edilen film türü (dört kategori) arasında bir ilişki olup olmadığını test etmek istiyor. Hangi test uygundur?
- AKi-kare bağımsızlık testi
- BEşleştirilmiş t testi
- CTek yönlü ANOVA
- DPearson korelasyonu
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı işyeri stresini incelemek için anket, görüşme ve gözlem kullanıyor ve bulgular örtüşüyor. Bu yaklaşıma ne denir?
- ATekrarlama
- BKarşı dengeleme
- CTabakalama
- DÜçgenleme
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 29, 38, 39, 45, 52, 51, 38.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 106,3'ün üstündedir?
μ = 100σ = 5x = 106,3
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,05, 0,2, 0,25, 0,25
Var(X) =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,15 olasılıkla €3, 0,02 olasılıkla €50 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €1€3: p = 0,15€50: p = 0,02
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 108,2 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 108,2 s
P =
8.Normal dağılımZor
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
9.Güven aralıklarıOrta
30 birimlik bir örneklemin ortalaması 101 ve standart sapması s = 8,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 30x̄ = 101s = 8,595%t(29) = 2,045
alt sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 32. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 32E = 599%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 2,5 olduğu biliniyor. 25 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 249,48. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ < 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 250σ = 2,5n = 25x̄ = 249,48H₁: μ < μ₀
p =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 200 hastadan 80’i, B tedavisi alan 80 hastadan 24’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 80n₁ = 200x₂ = 24n₂ = 80
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 25Σy = 337Σx² = 135Σy² = 23249Σxy = 1754
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (24,5, 139) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(24,5, 139)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1602 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 7 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Ki-kare bağımsızlık testi
Cevap neden bu
Ki-kare testi, iki kategorik değişkenin ilişkili olup olmadığını test etmek için bir çapraz tabloda gözlenen frekansları beklenen frekanslarla karşılaştırır.
Cevap
A · Ki-kare bağımsızlık testi
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Üçgenleme
Cevap neden bu
Üçgenleme birden çok yöntem, kaynak veya araştırmacı kullanır. Bunlar arasındaki uyum bulguların geçerliğine duyulan güveni artırır.
Cevap
D · Üçgenleme
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 8,159
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 292/7 = 41,71
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−12,71)² + (−3,714)² + (−2,714)² + 3,286² + 10,29² + 9,286² + (−3,714)² = 399,4
Standart sapma
s = √(399,4/6) = 8,159
Cevap
s = 8,159
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,1056
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,25
Standart normal tablo
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Cevap
P = 0,1056
5.Olasılık
Cevap: Var(X) = 2,26
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,25 + 5·0,25 = 3,2
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,25 + 25·0,25 = 12,5
Varyans
Var(X) = 12,5 − 3,2² = 2,26
Cevap
Var(X) = 2,26
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 0,45 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 2 (p = 0,15), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)
Beklenen değer
E(G) = 2·0,15 + 49·0,02 − 1·0,83 = 0,45 €
Cevap
E(G) = 0,45 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,3085
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standartlaştırın
z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Cevap
P = 0,3085
8.Normal dağılım
Cevap: x = 593,1 h
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
x’e geri dönüş
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Cevap
x = 593,05 h
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 97,83
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Hata payı
E = 2,045·8,5/√30 = 3,174
Aralık
101 ± 3,174 → [97,83, 104,2]
Cevap
alt sınır = 97,83
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 272
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·32/5)² = 271,8
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 272
Cevap
n = 272
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,1492
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5
z = (249,48 − 250)/0,5 = −1,04
Kuyruk alanı
Φ(1,04) = 0,8508
1 − Φ(1,04) = 0,1492
p-değeri
p = 0,1492
Cevap
p = 0,1492
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 1,564
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 80/200 = 0,4
p̂₂ = 24/80 = 0,3
p̂ = 104/280 = 0,3714
H₀ altında standart hata
SE = √(0,3714·0,6286·(1/200 + 1/80)) = 0,06392
Test istatistiği
z = (0,4 − 0,3)/0,06392 = 1,564
Cevap
z = 1,564
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9432
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 1754 − 25·337/5 = 69
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 23249 − 337²/5 = 535,2
Korelasyon katsayısı
r = 69/√(10·535,2) = 0,9432
Cevap
r = 0,9432
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 4,8
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 631/5 = 126,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 480
Regresyon doğrusu
b = 480/90 = 5,333
a = 126,2 − 5,333·23 = 3,533
ŷ = 3,533 + 5,333·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 3,533 + 5,333·24,5 = 134,2
Artık
e = 139 − 134,2 = 4,8
Cevap
e = 4,8
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 40,14
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
sigara içenler: 120·64/160 = 48, 120·96/160 = 72
sigara içmeyenler: 40·64/160 = 16, 40·96/160 = 24
Ki-kare istatistiği
χ² = (31 − 48)²/48 + (89 − 72)²/72 + (33 − 16)²/16 + (7 − 24)²/24
χ² = 40,14
Cevap
χ² = 40,14
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 11,07
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 7 − 1 − 1 = 5
Tablo
χ²crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070
Cevap
χ²crit = 11,070
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology