Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Uzmanlar bir matematik sınavının maddelerinin müfredattaki tüm konuları kapsayıp kapsamadığını kontrol ediyor. Bu neyi değerlendirir?
- AKapsam geçerliği
- BEkolojik geçerlik
- CTest-tekrar test güvenirliği
- DYordama geçerliği
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir çalışma, bir anketin aynı yapıyı ölçen yerleşik bir testle güçlü biçimde ilişkili olduğunu gösteriyor. Bu neyi destekler?
- AEkolojik geçerlik
- BGörünüş geçerliği
- CEş zamanlı geçerlik
- DTest-tekrar test güvenirliği
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 15, 55, 12, 33, 51.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 107,2 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 100σ = 12x = 107,2
z =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 2 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 2
P =
6.OlasılıkZor
Bir testte 5 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,5 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 5p = 0,5k = 1
P =
7.Normal dağılımOrta
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 45 ile 67 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 65σ = 10x1 = 45x2 = 67
P =
8.Normal dağılımZor
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).
μ = 32σ = 6P = 75%
x = min
9.Güven aralıklarıOrta
100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 9,7. Aynı çalışma bunun yerine 400 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?
95%n₁ = 100E₁ = 9,7n₂ = 400
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 13. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 13E = 2,590%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
6 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 0,98 ve farkların standart sapması 2. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 6d̄ = 0,98sd = 2
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ > 80 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 81,7’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 81,7σ = 5n = 100α = 0,01
1 − β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 72 tahmin eder?
n = 5ŷ = 72
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “gündüz vardiyası, kusursuz” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 84sütun toplamı = 58N = 144
E =
16.Ki-kare testleriZor
2 satır ve 2 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
2 × 2
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Kapsam geçerliği
Cevap neden bu
Kapsam geçerliği, bir ölçümün yapının tüm ilgili yönlerini ne ölçüde kapsadığıdır ve genellikle uzmanlarca değerlendirilir.
Cevap
A · Kapsam geçerliği
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Eş zamanlı geçerlik
Cevap neden bu
Eş zamanlı geçerlik, yeni bir ölçümün yaklaşık aynı zamanda alınan yerleşik bir ölçümle uyuştuğunda gösterilir.
Cevap
C · Eş zamanlı geçerlik
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 19,83
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 166/5 = 33,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−18,2)² + 21,8² + (−21,2)² + (−0,2)² + 17,8² = 1573
Standart sapma
s = √(1573/4) = 19,83
Cevap
s = 19,83
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = 0,6
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (107,2 − 100)/12 = 0,6
Cevap
z = 0,6
5.Olasılık
Cevap: P = 0,3056
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Cevap
P = 0,3056
6.Olasılık
Cevap: P = 0,1563
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 1) = 5·0,51·0,54 = 5·0,5·0,0625 = 0,1563
Cevap
P = 0,1563
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,5565
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (45 − 65)/10 = −2
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2
Aradaki alan
P = Φ(0,2) − Φ(−2) = 0,5793 − 0,02275 = 0,5565
Cevap
P = 0,5565
8.Normal dağılım
Cevap: x = 36,05 min
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
x’e geri dönüş
x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min
Cevap
x = 36,05 min
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 4,85
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/400) = 0,5
Yeni hata payı
E₂ = 9,7·0,5 = 4,85
Cevap
E₂ = 4,85
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 74
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·13/2,5)² = 73,17
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 74
Cevap
n = 74
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 2/√6 = 0,8165
Test istatistiği
t = 0,98/0,8165 = 1,2
Cevap
t = 1,2
df = 5 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,571; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 85,86 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 80 + 2,326·0,5 = 81,16
Gerçek ortalama altında z
z = (81,16 − 81,7)/0,5 = −1,074
Güç
güç = P(Z > −1,074) = 85,86%
1 − β = 85,86%
Cevap
1 − β = 85,86%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9881
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 465/6 = 77,5
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 981,5
Korelasyon katsayısı
r = 129,5/√(17,5·981,5) = 0,9881
Cevap
r = 0,9881
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 6,923
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 336/5 = 67,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208
Regresyon doğrusu
b = 208/40 = 5,2
a = 67,2 − 5,2·6 = 36
ŷ = 36 + 5,2·x
x için çözün
x = (72 − 36)/5,2 = 6,923
Cevap
x = 6,923
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 33,83
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 84·58/144 = 33,83
Cevap
E = 33,83
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 1
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
Cevap
df = 1
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology