Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Tam normal bir dağılımda ne geçerlidir?
- AOrtalama her zaman medyandan büyüktür
- BMod en düşük puandır
- COrtalama, medyan ve mod eşittir
- DPuanların çoğu uçlardadır
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir "zekâ" testi esas olarak insanların ne kadar hızlı yazı yazabildiğini ölçüyor. En açık biçimde hangi geçerlik türü eksiktir?
- Aİç tutarlılık
- BTest-tekrar test güvenirliği
- CDeğerlendiriciler arası güvenirlik
- DYapı geçerliği
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 16, 12, 44, 43, 21.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 122,5'ün altındadır?
μ = 100σ = 15x = 122,5
P =
5.OlasılıkOrta
8 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.
n = 8k = 3
N =
6.OlasılıkZor
Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,4 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 12p = 0,4k = 1
P =
7.Normal dağılımOrta
cıvatalar kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 40 g, standart sapma 1,2 g. Bunlardan 5 tanesinin toplam kütlesinin 205,4 g değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5< 205.4 g
P =
8.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %5 olan x değerini bulun (5. yüzdelik).
μ = 65σ = 10P = 5%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
20 birimlik bir örneklemin ortalaması 70 ve standart sapması s = 11. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 20x̄ = 70s = 1195%t(19) = 2,093
alt sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 22. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 22E = 399%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 40 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 64,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 13 mm. Hat 2: 80 parçalık bir örneklemin ortalaması 72,7 mm, bilinen standart sapması 15 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 40x̄₁ = 64,5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 80x̄₂ = 72,7 mmσ₂ = 15 mm
z =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 120 hastadan 36’i, B tedavisi alan 80 hastadan 19’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 19n₂ = 80
z =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 22 tahmin eder?
n = 6ŷ = 22
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 2402 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 4 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Ortalama, medyan ve mod eşittir
Cevap neden bu
Normal dağılım simetrik ve çan biçimlidir; bu yüzden üç merkezî eğilim ölçüsünün üçü de merkezde yer alır.
Cevap
C · Ortalama, medyan ve mod eşittir
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Yapı geçerliği
Cevap neden bu
Yapı geçerliği, bir ölçümün altta yatan yapıyı gerçekten yansıtıp yansıtmadığıdır. Bir test yanlış şeyi ölçerken güvenilir olabilir.
Cevap
D · Yapı geçerliği
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,22
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 136/5 = 27,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−11,2)² + (−15,2)² + 16,8² + 15,8² + (−6,2)² = 926,8
Standart sapma
s = √(926,8/4) = 15,22
Cevap
s = 15,22
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9332
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,5
Standart normal tablo
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Cevap
P = 0,9332
5.Olasılık
Cevap: N = 56
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasyonlar
C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56
Cevap
N = 56
6.Olasılık
Cevap: P = 0,01741
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 1) = 12·0,41·0,611 = 12·0,4·0,003628 = 0,01741
Cevap
P = 0,01741
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9778
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 200 g, σT = 1,2·√5 = 2,683 g
Standartlaştırın
z = (205,4 − 200)/2,683 = 2,01
Olasılık
P = Φ(2,01) = 0,9778
Cevap
P = 0,9778
8.Normal dağılım
Cevap: x = 48,55 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
x’e geri dönüş
x = 65 + −1,645·10 = 48,55 puan
Cevap
x = 48,55 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 64,85
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Hata payı
E = 2,093·11/√20 = 5,148
Aralık
70 ± 5,148 → [64,85, 75,15]
Cevap
alt sınır = 64,85
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 357
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·22/3)² = 356,9
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 357
Cevap
n = 357
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −3,091
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(13²/40 + 15²/80) = √7,037 = 2,653
Test istatistiği
z = (64,5 − 72,7)/2,653 = −3,091
Cevap
z = −3,091
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 0,9698
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 36/120 = 0,3
p̂₂ = 19/80 = 0,2375
p̂ = 55/200 = 0,275
H₀ altında standart hata
SE = √(0,275·0,725·(1/120 + 1/80)) = 0,06445
Test istatistiği
z = (0,3 − 0,2375)/0,06445 = 0,9698
Cevap
z = 0,9698
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9775
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 442/5 = 88,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 399
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1851
Korelasyon katsayısı
r = 399/√(90·1851) = 0,9775
Cevap
r = 0,9775
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 1,725
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 111/6 = 18,5
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34,5
Regresyon doğrusu
b = −34,5/17,5 = −1,971
a = 18,5 − (−1,971)·3,5 = 25,4
ŷ = 25,4 − 1,971·x
x için çözün
x = (22 − 25,4)/(−1,971) = 1,725
Cevap
x = 1,725
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 17,24
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
erkekler: 120·108/240 = 54, 120·132/240 = 66
kadınlar: 120·108/240 = 54, 120·132/240 = 66
Ki-kare istatistiği
χ² = (38 − 54)²/54 + (82 − 66)²/66 + (70 − 54)²/54 + (50 − 66)²/66
χ² = 17,24
Cevap
χ² = 17,24
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 5,991
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 4 − 1 − 1 = 2
Tablo
χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991
Cevap
χ²crit = 5,991
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology