Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Yeni bir depresyon anketi hangi öğrencilerin önümüzdeki yıl tedavi arayacağını yordar. Bu hangi tür geçerliği destekler?
- AKapsam geçerliği
- BYordama geçerliği
- CEş zamanlı geçerlik
- DGörünüş geçerliği
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
İki gözlemci bir oyun alanında saldırgan davranışları kaydediyor ve sayımları r = 0,45 ile korelasyon gösteriyor. Araştırmacı ne yapmalıdır?
- ATek yönlü bir hipoteze geçmelidir
- BHerhangi bir pozitif korelasyon yeterli olduğu için verileri kabul etmelidir
- CDavranış kategorilerini netleştirmeli, gözlemcileri eğitmeli ve uyumu yeniden kontrol etmelidir
- DYalnızca iki sayımdan yüksek olanı kullanmalıdır
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 59, 35, 30, 10, 15, 52, 52.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 57,5'ün üstündedir?
μ = 60σ = 5x = 57,5
P =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 2 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 2
P =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,15 olasılıkla €10, 0,05 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €2€10: p = 0,15€100: p = 0,05
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 117,8 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 117,8 s
P =
8.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 80 telefon, ortalama 140 h, bilinen standart sapma 7 h. Model 2: 60 telefon, ortalama 153,5 h, bilinen standart sapma 7 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n₁ = 80x̄₁ = 140 hσ₁ = 7 hn₂ = 60x̄₂ = 153,5 hσ₂ = 7 h99%
E = h
10.Güven aralıklarıZor
Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,1 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p ≈ 0,1E = 0,02599%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 97,4, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 100x̄ = 97,4s = 5n = 25
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 103,4. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 103,4σ = 10n = 6499%
L =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 86 tahmin eder?
n = 6ŷ = 86
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1802 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
2 satır ve 4 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Yordama geçerliği
Cevap neden bu
Yordama geçerliği puanlar daha sonraki bir ölçütü yordadığında gösterilir. Eş zamanlı geçerlik aynı anda ölçülen bir ölçüt kullanır.
Cevap
B · Yordama geçerliği
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Davranış kategorilerini netleştirmeli, gözlemcileri eğitmeli ve uyumu yeniden kontrol etmelidir
Cevap neden bu
Düşük gözlemciler arası güvenirlik, kategorilerin tutarsız uygulandığı anlamına gelir. Daha açık işevuruk tanımlar ve alıştırma oturumları ana veri toplamadan önce uyumu artırmalıdır.
Cevap
C · Davranış kategorilerini netleştirmeli, gözlemcileri eğitmeli ve uyumu yeniden kontrol etmelidir
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 19,13
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 253/7 = 36,14
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 22,86² + (−1,143)² + (−6,143)² + (−26,14)² + (−21,14)² + 15,86² + 15,86² = 2195
Standart sapma
s = √(2195/6) = 19,13
Cevap
s = 19,13
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,6915
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,5
Standart normal tablo
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Cevap
P = 0,6915
5.Olasılık
Cevap: P = 0,3056
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Cevap
P = 0,3056
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 4,5 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 8 (p = 0,15), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)
Beklenen değer
E(G) = 8·0,15 + 98·0,05 − 2·0,8 = 4,5 €
Cevap
E(G) = 4,5 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,02275
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standartlaştırın
z = (117,8 − 105)/6,403 = 2
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Cevap
P = 0,02275
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9207
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41
Olasılık
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Cevap
P = 0,9207
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 3,08 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 140 − 153,5 = −13,5
Standart hata
SE = √(7²/80 + 7²/60) = 1,195
Hata payı
E = 2,576·1,195 = 3,08
Cevap
E = 3,08 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 956
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,1·0,9/0,025² = 955,6
Yukarı yuvarlayın
n = 956
Cevap
n = 956
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −2,6
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
Test istatistiği
t = (97,4 − 100)/1 = −2,6
Cevap
t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 100,2
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 2,576·10/√64 = 3,22
Aralık sınırı
L = 103,4 − 3,22 = 100,2
Cevap
L = 100,2
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9509
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 283/5 = 56,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288
Syy = Σ(y − ȳ)² = 969,2
Belirlilik katsayısı
r² = 288²/(90·969,2) = 0,9509
Cevap
r² = 0,9509
y’deki değişimin yaklaşık %95,09’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 21,83
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 507/6 = 84,5
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 724,5
Regresyon doğrusu
b = 724,5/157,5 = 4,6
a = 84,5 − 4,6·21,5 = −14,4
ŷ = −14,4 + 4,6·x
x için çözün
x = (86 − (−14,4))/4,6 = 21,83
Cevap
x = 21,83
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 6,833
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
gündüz vardiyası: 120·54/180 = 36, 120·54/180 = 36, 120·72/180 = 48
gece vardiyası: 60·54/180 = 18, 60·54/180 = 18, 60·72/180 = 24
Ki-kare istatistiği
χ² = (33 − 36)²/36 + (31 − 36)²/36 + (56 − 48)²/48 + (21 − 18)²/18 + (23 − 18)²/18 + (16 − 24)²/24
χ² = 6,833
Cevap
χ² = 6,833
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 7,815
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3
Tablo
χ²crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815
Cevap
χ²crit = 7,815
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology