Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Kesitsel bir çalışma 20, 40 ve 60 yaşındakileri aynı anda teknoloji kullanımı bakımından karşılaştırıyor. Yaş karşılaştırmasını hangi sorun karıştırabilir?
- AKuşak (kohort) etkileri
- BSıra etkileri
- CAlıştırma etkileri
- DTaban etkileri
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir çalışma stresin hastalık üzerindeki etkisinin güçlü sosyal desteği olan kişilerde daha zayıf olduğunu buluyor. Sosyal destek burada ne işlev görür?
- ADüzenleyici (moderatör)
- BAracı (mediatör)
- CBağımlı değişken
- DKarıştırıcı
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 47, 23, 31, 38, 48, 56.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 88,75'ün altındadır?
μ = 70σ = 15x = 88,75
P =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 6 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 6
P =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 5. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,3, 0,05, 0,25, 0,15Y = 5X + 5
σY =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9573 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9573
z =
8.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %25 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
9.Güven aralıklarıOrta
7 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 4,2 ve standart sapması 3,2. Ortalama fark için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 7d̄ = 4,2sd = 3,295%t(6) = 2,447
üst sınır = mmHg
10.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,02 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0299%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 80 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 106 mm ve hattın bilinen standart sapması 20 mm. Hat 2: 40 parçalık bir örneklemin ortalaması 108,3 mm, bilinen standart sapması 15 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 80x̄₁ = 106 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 40x̄₂ = 108,3 mmσ₂ = 15 mm
z =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
36 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 46,4. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 46,4σ = 8n = 3690%
L =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (21, 115) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(21, 115)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “kentsel, düşük” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 67sütun toplamı = 32N = 133
E =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 9 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Kuşak (kohort) etkileri
Cevap neden bu
Farklı yaş grupları farklı tarihsel koşullarda yetişti; bu yüzden farklar yaşlanmanın kendisini değil kuşağı yansıtıyor olabilir.
Cevap
A · Kuşak (kohort) etkileri
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Düzenleyici (moderatör)
Cevap neden bu
Düzenleyici değişken, iki değişken arasındaki ilişkinin gücünü veya yönünü değiştirir. Aracı değişken ise bir değişkenin diğerini hangi mekanizmayla etkilediğini açıklar.
Cevap
A · Düzenleyici (moderatör)
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 12,18
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 243/6 = 40,5
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 6,5² + (−17,5)² + (−9,5)² + (−2,5)² + 7,5² + 15,5² = 741,5
Standart sapma
s = √(741,5/5) = 12,18
Cevap
s = 12,18
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,8944
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,25
Standart normal tablo
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Cevap
P = 0,8944
5.Olasılık
Cevap: P = 0,6651
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Cevap
P = 0,6651
6.Olasılık
Cevap: σY = 7,224
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 2,75, Var(X) = 2,088, σX = 1,445
Doğrusal değişim
σY = |5|·1,445 = 7,224
Cevap
σY = 7,224
Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·2,75 + 5 = 18,75.
7.Normal dağılım
Cevap: z = −1,72
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,9573 = 0,0427
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,0427 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = −1,72
Cevap
z = −1,72
8.Normal dağılım
Cevap: x = 253,4 g
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,75
Tablodan z
z ≈ 0,67
Özgün birimlere geri dönüş
x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g
Cevap
x = 253,4 g
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 7,16 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 6, t = 2,447
Hata payı
E = 2,447·3,2/√7 = 2,96
Aralık
4,2 ± 2,96 → [1,24, 7,16]
Cevap
üst sınır = 7,16 mmHg
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 4148
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147
Yukarı yuvarlayın
n = 4148
Cevap
n = 4148
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −0,7056
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(20²/80 + 15²/40) = √10,63 = 3,26
Test istatistiği
z = (106 − 108,3)/3,26 = −0,7056
Cevap
z = −0,7056
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 44,21
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·8/√36 = 2,193
Aralık sınırı
L = 46,4 − 2,193 = 44,21
Cevap
L = 44,21
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9205
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 274/5 = 54,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36
Syy = Σ(y − ȳ)² = 140,8
Belirlilik katsayısı
r² = 36²/(10·140,8) = 0,9205
Cevap
r² = 0,9205
y’deki değişimin yaklaşık %92,05’ı doğru tarafından açıklanır.
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 4,55
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 457/5 = 91,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254
Regresyon doğrusu
b = 254/40 = 6,35
a = 91,4 − 6,35·18 = −22,9
ŷ = −22,9 + 6,35·x
Tahmin edilen değer
ŷ = −22,9 + 6,35·21 = 110,5
Artık
e = 115 − 110,5 = 4,55
Cevap
e = 4,55
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 16,12
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 67·32/133 = 16,12
Cevap
E = 16,12
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 18,48
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 9 − 1 − 1 = 7
Tablo
χ²crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475
Cevap
χ²crit = 18,475
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology