Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
İçerik analizinde değerlendiriciler arası güvenirlik nasıl kontrol edilir?
- ADaha büyük bir materyal örneklemi kullanılmasıyla
- BKatılımcılara sonradan araştırmacının kendi materyalini yaptığı kodlamanın doğru olup olmadığının sorulmasıyla
- Cİki araştırmacının aynı materyali kodlaması ve sonuçların karşılaştırılmasıyla
- DMateryalin bir günde iki kez kodlanmasıyla
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Dört grubu karşılaştıran tek yönlü bir ANOVA anlamlı çıkıyor. Hangi grupların farklı olduğunu bulmak için araştırmacı sonra ne yapmalıdır?
- ASonucu bir korelasyon olarak raporlamalıdır
- BOrtalamalar üzerinde ki-kare testi yapmalıdır
- CDört grubun hepsinin birbirinden farklı olduğu sonucuna varmalıdır
- DTukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 10, 19, 36, 58, 60.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 55 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 50σ = 5x = 55
z =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25
Var(X) =
6.OlasılıkZor
6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,3 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 6p = 0,3
P =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0217 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,0217
z =
8.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %25 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
9.Güven aralıklarıOrta
25 birimlik bir örneklemin ortalaması 107 ve standart sapması s = 2. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 25x̄ = 107s = 299%t(24) = 2,797
üst sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,03 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0395%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
100 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 99,28, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 100x̄ = 99,28s = 4n = 100
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 48. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 48σ = 20n = 4990%
L =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 15Σy = 115Σx² = 55Σy² = 2707Σxy = 322
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 80) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(4,5, 80)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Ki-kare bağımsızlık testi için “gece vardiyası, büyük kusur” hücresinin beklenen frekansı E değerini bulun.
satır toplamı = 54sütun toplamı = 22N = 139
E =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 8 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
k = 8
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · İki araştırmacının aynı materyali kodlaması ve sonuçların karşılaştırılmasıyla
Cevap neden bu
Bağımsız kodlayıcılar aynı veriler için benzer kodlar üretirse (yüksek uyum veya korelasyon), kodlama şeması güvenilirdir.
Cevap
C · İki araştırmacının aynı materyali kodlaması ve sonuçların karşılaştırılmasıyla
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Tukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
Cevap neden bu
Anlamlı bir F tüm ortalamaların eşit olmadığını gösterir. Post hoc testler veya planlı karşılaştırmalar, hata oranını kontrol ederek hangi çiftlerin farklı olduğunu belirler.
Cevap
D · Tukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 22,49
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 183/5 = 36,6
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−26,6)² + (−17,6)² + (−0,6)² + 21,4² + 23,4² = 2023
Standart sapma
s = √(2023/4) = 22,49
Cevap
s = 22,49
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = 1
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (55 − 50)/5 = 1
Cevap
z = 1
5.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,35
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,5
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,6
Varyans
Var(X) = 7,6 − 2,5² = 1,35
Cevap
Var(X) = 1,35
6.Olasılık
Cevap: P = 0,4202
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,76 = 0,1176
P(X = 1) = 6·0,3·0,75 = 0,3025
Toplayın
P = 0,1176 + 0,3025 = 0,4202
Cevap
P = 0,4202
7.Normal dağılım
Cevap: z = 2,02
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,0217 = 0,9783
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9783 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 2,02
Cevap
z = 2,02
8.Normal dağılım
Cevap: x = 253,4 g
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,75
Tablodan z
z ≈ 0,67
Özgün birimlere geri dönüş
x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g
Cevap
x = 253,4 g
9.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 108,1
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Hata payı
E = 2,797·2/√25 = 1,119
Aralık
107 ± 1,119 → [105,9, 108,1]
Cevap
üst sınır = 108,1
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 1068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 1,96²·0,5·0,5/0,03² = 1067
Yukarı yuvarlayın
n = 1068
Cevap
n = 1068
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −1,8
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4
Test istatistiği
t = (99,28 − 100)/0,4 = −1,8
Cevap
t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 43,3
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·20/√49 = 4,7
Aralık sınırı
L = 48 − 4,7 = 43,3
Cevap
L = 43,3
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9237
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 322 − 15·115/5 = −23
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2707 − 115²/5 = 62
Korelasyon katsayısı
r = −23/√(10·62) = −0,9237
Cevap
r = −0,9237
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 5,324
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 410/6 = 68,33
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111
Regresyon doğrusu
b = 111/17,5 = 6,343
a = 68,33 − 6,343·3,5 = 46,13
ŷ = 46,13 + 6,343·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 46,13 + 6,343·4,5 = 74,68
Artık
e = 80 − 74,68 = 5,324
Cevap
e = 5,324
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: E = 8,547
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekans
E = 54·22/139 = 8,547
Cevap
E = 8,547
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 7
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 8 − 1 = 7
Cevap
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology