Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta

Aynı 25 katılımcı kafeinden önce ve sonra bir bellek testini tamamlıyor. Puanlar eşit aralıklı ve yaklaşık normal. Hangi test uygundur?

ABağımsız örneklemler t testi
BMann–Whitney U testi
CEşleştirilmiş (ilişkili) örneklemler t testi
DKi-kare testi

2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor

Birçok araştırmacı neden p değerlerinin etki büyüklükleri ve güven aralıklarıyla birlikte raporlanması gerektiğini savunur?

AP değerleri hipotezin doğru olma olasılığını gösterir
BBir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez
CGüven aralıkları yalnızca nitel araştırmada gereklidir
DEtki büyüklükleri örneklem büyüklüğünü anlamlılık açısından önemsiz kılar

3.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 22, 43, 54, 15, 21, 47, 11.

n = 7

s =

4.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 48 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 8x = 48

z =

5.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,2, 0,35, 0,2, 0,15

Var(X) =

6.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,2 olasılıkla €40, 0,02 olasılıkla €500 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €10€40: p = 0,2€500: p = 0,02

E(G) = €

7.Normal dağılımOrta

cıvatalar kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 40 g, standart sapma 1,2 g. Bunlardan 16 tanesinin toplam kütlesinin 632,8 g değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16< 632.8 g

P =

8.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

9.Güven aralıklarıOrta

10 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması −9,3 ve standart sapması 3,4. Ortalama fark için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 10d̄ = −9,3s_d = 3,495%t(9) = 2,262

alt sınır = mmHg

10.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 37. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 37E = 595%

n =

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 99,2, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 99,2s = 4n = 81

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 15 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 92’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 92σ = 15n = 36α = 0,01

β = %

13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (7, 12) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(7, 12)

e =

15.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Ki-kare testleriZor

Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 5 kategorideki frekansların, ortalaması aynı verilerden tahmin edilen bir Poisson dağılımına uyup uymadığını kontrol ediyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

k = 5

df =

3Çözeltiler

1.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: C · Eşleştirilmiş (ilişkili) örneklemler t testi

Cevap neden bu

Eşleştirilmiş t testi, her kişinin içindeki farkları kullanarak aynı katılımcıların iki koşuldaki ortalamalarını karşılaştırır.

Cevap

C · Eşleştirilmiş (ilişkili) örneklemler t testi

2.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: B · Bir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez

Cevap neden bu

Bir p değeri büyük ölçüde örneklem büyüklüğüne bağlıdır ve yalnızca sıfır hipotezi altında verilerin ne kadar şaşırtıcı olduğunu gösterir. Etki büyüklükleri büyüklüğü, aralıklar ise kesinliği gösterir.

Cevap

B · Bir p değeri etkinin ne kadar büyük veya kesin olduğunu göstermez

3.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,15

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 213/7 = 30,43

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,429)² + 12,57² + 23,57² + (−15,43)² + (−9,429)² + 16,57² + (−19,43)² = 1764

Standart sapma

s = √(1764/6) = 17,15

Cevap

s = 17,15

4.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (48 − 60)/8 = −1,5

Cevap

z = −1,5

5.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,39

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,2 + 5·0,15 = 3,1

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,2 + 25·0,15 = 11

Varyans

Var(X) = 11 − 3,1² = 1,39

Cevap

Var(X) = 1,39

6.Olasılık

Cevap: E(G) = 8 €

Net sonuçlar

G: 30 (p = 0,2), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)

Beklenen değer

E(G) = 30·0,2 + 490·0,02 − 10·0,78 = 8 €

Cevap

E(G) = 8 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

7.Normal dağılım

Cevap: P = 0,06681

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 640 g, σ_T = 1,2·√16 = 4,8 g

Standartlaştırın

z = (632,8 − 640)/4,8 = −1,5

Olasılık

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

8.Normal dağılım

Cevap: x = 187 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Cevap

x = 186,97 cm

9.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −11,73 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 9, t = 2,262

Hata payı

E = 2,262·3,4/√10 = 2,432

Aralık

−9,3 ± 2,432 → [−11,73, −6,868]

Cevap

alt sınır = −11,73 mmHg

10.Güven aralıkları

Cevap: n = 211

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·37/5)² = 210,4

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 211

Cevap

n = 211

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Test istatistiği

t = (99,2 − 100)/0,4444 = −1,8

Cevap

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 19,11 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 100 − 2,326·2,5 = 94,19

Gerçek ortalama altında z

z = (94,19 − 92)/2,5 = 0,874

II. tip hata

güç = P(Z < 0.874) = 80.89%

β = 100% − 80,89% = 19,11%

Cevap

β = 19,11%

13.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9959

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 401/5 = 80,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1501

Korelasyon katsayısı

r = 244/√(40·1501) = 0,9959

Cevap

r = 0,9959

14.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3,2

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 66/5 = 13,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

Regresyon doğrusu

b = 80/40 = 2

a = 13,2 − 2·6 = 1,2

ŷ = 1,2 + 2·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 1,2 + 2·7 = 15,2

Artık

e = 12 − 15,2 = −3,2

Cevap

e = −3,2

Nokta doğrunun altındadır.

15.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 1,5

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

erkekler: 100·108/180 = 60, 100·72/180 = 40

kadınlar: 80·108/180 = 48, 80·72/180 = 32

Ki-kare istatistiği

χ² = (64 − 60)²/60 + (36 − 40)²/40 + (44 − 48)²/48 + (36 − 32)²/32

χ² = 1,5

Cevap

χ² = 1,5

sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

16.Ki-kare testleri

Cevap: df = 3

Serbestlik derecesi

df = 5 − 1 − 1 = 3

Cevap

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology