Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir araştırmacı uzak bir kasabaya televizyon gelmeden önce ve geldikten sonra çocukların saldırganlığını karşılaştırıyor. Araştırmacı televizyonun gelişini kontrol etmedi. Bu nedir?
- AAlan deneyi
- BTelevizyon izlemeye ilişkin korelasyonel anket
- CLaboratuvar deneyi
- DDoğal deney
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı beş t testi yapıyor ve Bonferroni düzeltmesiyle toplam I. tip hata oranını 0,05'te tutmak istiyor. Her test hangi anlamlılık düzeyini kullanmalıdır?
- A0,01
- B0,25
- C0,025
- D0,05
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 55, 52, 41, 50, 39, 46.
n = 6
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 52 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 50σ = 5x = 52
z =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1
σ =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 4. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35Y = −2X + 4
σY =
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9707 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9707
z =
8.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %15 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
9.Güven aralıklarıOrta
12 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 1,7 ve standart sapması 7. Ortalama fark için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 12d̄ = 1,7sd = 795%t(11) = 2,201
E = mmHg
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 32. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 32E = 1,590%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 201,3, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 200x̄ = 201,3s = 5n = 64
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1,5 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 13. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,05güç = 80%δ = 1,5σ = 13zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 42Σy = 67Σx² = 364Σy² = 961Σxy = 590
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 21 tahmin eder?
n = 5ŷ = 21
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 8 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
k = 8
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Doğal deney
Cevap neden bu
Doğal deneyde bağımsız değişken araştırmacının kontrolü dışındaki olaylar nedeniyle değişir. Ekolojik geçerlik yüksektir, ancak seçkisiz atama mümkün değildir.
Cevap
D · Doğal deney
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · 0,01
Cevap neden bu
Bonferroni düzeltmesi α'yı karşılaştırma sayısına böler: 0,05 / 5 = 0,01. Basittir ama tutucudur; bu da II. tip hata riskini artırır.
Cevap
A · 0,01
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 6,306
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 283/6 = 47,17
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 7,833² + 4,833² + (−6,167)² + 2,833² + (−8,167)² + (−1,167)² = 198,8
Standart sapma
s = √(198,8/5) = 6,306
Cevap
s = 6,306
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = 0,4
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (52 − 50)/5 = 0,4
Cevap
z = 0,4
5.Olasılık
Cevap: σ = 0,9631
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,1 = 2,15
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,1 = 5,55
Varyans
Var(X) = 5,55 − 2,15² = 0,9275
σ = √0,9275 = 0,9631
Cevap
σ = 0,9631
6.Olasılık
Cevap: σY = 22,45
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 28, Var(X) = 126, σX = 11,22
Doğrusal değişim
σY = |−2|·11,22 = 22,45
Cevap
σY = 22,45
Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·28 + 4 = −52.
7.Normal dağılım
Cevap: z = 2,18
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,9707)/2 = 0,9854
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9854 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 2,18
Cevap
z = 2,18
8.Normal dağılım
Cevap: x = 244,8 g
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,15
Tablodan z
z ≈ −1,04
Özgün birimlere geri dönüş
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Cevap
x = 244,8 g
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 4,448 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 11, t = 2,201
Hata payı
E = 2,201·7/√12 = 4,448
Cevap
E = 4,448 mmHg
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 1232
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·32/1,5)² = 1232
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 1232
Cevap
n = 1232
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,08
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Test istatistiği
t = (201,3 − 200)/0,625 = 2,08
Cevap
t = 2,08
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 465
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((1,645 + 0,842)·13/1,5)² = 464,6
Yukarı yuvarlayın
n = 465
Cevap
n = 465
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9913
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 590 − 42·67/6 = 121
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 961 − 67²/6 = 212,8
Korelasyon katsayısı
r = 121/√(70·212,8) = 0,9913
Cevap
r = 0,9913
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 6,897
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 92/5 = 18,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Regresyon doğrusu
b = 116/40 = 2,9
a = 18,4 − 2,9·6 = 1
ŷ = 1 + 2,9·x
x için çözün
x = (21 − 1)/2,9 = 6,897
Cevap
x = 6,897
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 4,455
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
yeni ilaç: 80·99/180 = 44, 80·81/180 = 36
plasebo: 100·99/180 = 55, 100·81/180 = 45
Ki-kare istatistiği
χ² = (37 − 44)²/44 + (43 − 36)²/36 + (62 − 55)²/55 + (38 − 45)²/45
χ² = 4,455
Cevap
χ² = 4,455
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 7
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = 8 − 1 = 7
Cevap
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology