Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Talep özellikleri (demand characteristics) nedir?
- AKatılımcıların amacı tahmin edip davranışlarını değiştirmelerine yol açan ipuçları
- BBir etik kurulun, bir çalışma başlamadan önce ileri sürdüğü resmî talepler
- CBir testin istatistiksel gereklilikleri
- DÖrneklemin özellikleri
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Dört grubu karşılaştıran tek yönlü bir ANOVA anlamlı çıkıyor. Hangi grupların farklı olduğunu bulmak için araştırmacı sonra ne yapmalıdır?
- ATukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
- BOrtalamalar üzerinde ki-kare testi yapmalıdır
- CSonucu bir korelasyon olarak raporlamalıdır
- DDört grubun hepsinin birbirinden farklı olduğu sonucuna varmalıdır
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 22, 22, 59, 16, 10.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 76 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 100σ = 12x = 76
z =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,15, 0,35, 0,15
Var(X) =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,3 olasılıkla €10, 0,05 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €2€10: p = 0,3€100: p = 0,05
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9566 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9566
z =
8.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).
μ = 250σ = 5P = 10%
x = g
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 80 telefon, ortalama 84 h, bilinen standart sapma 8 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 87 h, bilinen standart sapma 4 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 80x̄₁ = 84 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 87 hσ₂ = 4 h95%
alt sınır = h
10.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,02 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0299%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
6 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 6,6 ve farkların standart sapması 7,7. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 6d̄ = 6,6sd = 7,7
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 9. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,05güç = 90%δ = 2σ = 9zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 15Σy = 104Σx² = 55Σy² = 2232Σxy = 287
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 17 tahmin eder?
n = 5ŷ = 17
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1802 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
2 satır ve 2 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Katılımcıların amacı tahmin edip davranışlarını değiştirmelerine yol açan ipuçları
Cevap neden bu
Katılımcılar hipotezi anlarsa onu doğrulamak ya da baltalamak için davranabilir; bu da geçerliği tehdit eder. Aldatma ve kör yöntemler bunu azaltır.
Cevap
A · Katılımcıların amacı tahmin edip davranışlarını değiştirmelerine yol açan ipuçları
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Tukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
Cevap neden bu
Anlamlı bir F tüm ortalamaların eşit olmadığını gösterir. Post hoc testler veya planlı karşılaştırmalar, hata oranını kontrol ederek hangi çiftlerin farklı olduğunu belirler.
Cevap
A · Tukey HSD gibi post hoc testler yapmalıdır
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 19,21
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 129/5 = 25,8
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−3,8)² + (−3,8)² + 33,2² + (−9,8)² + (−15,8)² = 1477
Standart sapma
s = √(1477/4) = 19,21
Cevap
s = 19,21
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = −2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (76 − 100)/12 = −2
Cevap
z = −2
5.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,56
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,1 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,2
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,15 = 6,4
Varyans
Var(X) = 6,4 − 2,2² = 1,56
Cevap
Var(X) = 1,56
6.Olasılık
Cevap: E(G) = 6 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 8 (p = 0,3), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)
Beklenen değer
E(G) = 8·0,3 + 98·0,05 − 2·0,65 = 6 €
Cevap
E(G) = 6 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: z = 2,02
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,9566)/2 = 0,9783
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9783 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 2,02
Cevap
z = 2,02
8.Normal dağılım
Cevap: x = 243,6 g
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
x’e geri dönüş
x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g
Cevap
x = 243,59 g
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −5,147 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 84 − 87 = −3
Standart hata
SE = √(8²/80 + 4²/40) = 1,095
Hata payı
E = 1,96·1,095 = 2,147
Aralık
−3 ± 2,147 → [−5,147, −0,8529]
Cevap
alt sınır = −5,147 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 4148
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147
Yukarı yuvarlayın
n = 4148
Cevap
n = 4148
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 7,7/√6 = 3,144
Test istatistiği
t = 6,6/3,144 = 2,1
Cevap
t = 2,1
df = 5 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,571; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 174
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((1,645 + 1,282)·9/2)² = 173,5
Yukarı yuvarlayın
n = 174
Cevap
n = 174
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9531
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 287 − 15·104/5 = −25
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2232 − 104²/5 = 68,8
Korelasyon katsayısı
r = −25/√(10·68,8) = −0,9531
Cevap
r = −0,9531
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 4,984
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 101/5 = 20,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Regresyon doğrusu
b = 126/40 = 3,15
a = 20,2 − 3,15·6 = 1,3
ŷ = 1,3 + 3,15·x
x için çözün
x = (17 − 1,3)/3,15 = 4,984
Cevap
x = 4,984
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 11
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
sigara içenler: 100·81/180 = 45, 100·99/180 = 55
sigara içmeyenler: 80·81/180 = 36, 80·99/180 = 44
Ki-kare istatistiği
χ² = (56 − 45)²/45 + (44 − 55)²/55 + (25 − 36)²/36 + (55 − 44)²/44
χ² = 11
Cevap
χ² = 11
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 3,841
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
Tablo
χ²crit(df = 1, α = 0,05) = 3,841
Cevap
χ²crit = 3,841
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology