Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta

Ortalamanın standart hatası ne zaman küçülür?

ADeğişken sıralama düzeyinde ölçüldüğünde
BOrtalama arttığında
CÖrneklem büyüklüğü azaldığında
DÖrneklem büyüklüğü arttığında

2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor

Bir araştırmacı dokuz zaman noktasında veri toplayıp her seferinde düzeltme yapmadan %5 düzeyinde test ediyor. Sorun nedir?

AEtki büyüklüğü her testte azalır
BEn az bir yanlış pozitif olasılığı %5'in çok üzerine çıkar
CBu yaklaşımda bir sorun yoktur
DVeriler her seferinde daha güvenilir hâle gelir, bu yüzden son test en doğru olandır

3.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 24, 17, 38, 55, 17, 18, 59.

n = 7

s =

4.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 160 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 170σ = 10x = 160

z =

5.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,15, 0,2

σ =

6.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 0,5X + 4. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1Y = 0,5X + 4

σ_Y =

7.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,3401 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,3401

z =

8.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %90 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

9.Güven aralıklarıOrta

50 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 4,2. 100 gözleme dayanan %95 aralığın hata payı E₂ nedir?

90%n₁ = 50E₁ = 4,295%n₂ = 100

E₂ =

10.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 15E = 299%

n =

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 107, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 107s = 20n = 16

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 20E = 2,599%

n =

13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 4 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 4

ŷ =

15.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Ki-kare testleriZor

Tablo gözlenen frekansları gösteriyor. İki değişkenin bağımsız olup olmadığını α = 0,01 düzeyinde test edin (süreklilik düzeltmesi olmadan). Test istatistiği χ² değerini hesaplayın, sonra tablodaki kritik değerle karşılaştırın.

N = 2803 × 2α = 0,01

χ² =

3Çözeltiler

1.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: D · Örneklem büyüklüğü arttığında

Cevap neden bu

Standart hata, örneklem ortalamalarının evren ortalaması çevresinde ne kadar değiştiğini tahmin eder. Daha büyük örneklemler daha kesin tahminler verir.

Cevap

D · Örneklem büyüklüğü arttığında

2.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: B · En az bir yanlış pozitif olasılığı %5'in çok üzerine çıkar

Cevap neden bu

Dokuz bağımsız testle en az bir I. tip hata olasılığı yaklaşık 1 − 0,95⁹ ≈ %37'dir. Bonferroni gibi düzeltmeler bu sorunu ele alır.

Cevap

B · En az bir yanlış pozitif olasılığı %5'in çok üzerine çıkar

3.Betimsel istatistik

Cevap: s = 18,27

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 228/7 = 32,57

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,571)² + (−15,57)² + 5,429² + 22,43² + (−15,57)² + (−14,57)² + 26,43² = 2002

Standart sapma

s = √(2002/6) = 18,27

Cevap

s = 18,27

4.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1

Standartlaştırın

z = (160 − 170)/10 = −1

Cevap

z = −1

5.Olasılık

Cevap: σ = 1,446

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,2 = 1,9

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,2 = 5,7

Varyans

Var(X) = 5,7 − 1,9² = 2,09

σ = √2,09 = 1,446

Cevap

σ = 1,446

6.Olasılık

Cevap: σ_Y = 0,4899

X’in yayılımı

μ = 2,2, Var(X) = 0,96, σ_X = 0,9798

Doğrusal değişim

σ_Y = |0,5|·0,9798 = 0,4899

Cevap

σ_Y = 0,4899

Ortalama ise kayar: E(Y) = 0,5·2,2 + 4 = 5,1.

7.Normal dağılım

Cevap: z = 0,44

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,3401)/2 = 0,6700

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,6700 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,44

Cevap

z = 0,44

8.Normal dağılım

Cevap: x = 169 cm

Soldaki alan

Φ(z) = 0,1

Tablodan z

z ≈ −1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Cevap

x = 169 cm

9.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 3,539

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(50/100) = 0,8425

Yeni hata payı

E₂ = 4,2·0,8425 = 3,539

Cevap

E₂ = 3,539

10.Güven aralıkları

Cevap: n = 374

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·15/2)² = 373,3

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 374

Cevap

n = 374

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,6

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Test istatistiği

t = (107 − 120)/5 = −2,6

Cevap

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 425

n'yi çözün

n = (2,576·20/2,5)² = 424,7

Yukarı yuvarlayın

n = 425

Cevap

n = 425

13.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9531

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 339/5 = 67,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 654,8

Belirlilik katsayısı

r² = 158²/(40·654,8) = 0,9531

Cevap

r² = 0,9531

y’deki değişimin yaklaşık %95,31’ı doğru tarafından açıklanır.

14.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 57,36

Ortalamalar

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 405/6 = 67,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 355

Regresyon doğrusu

b = 355/70 = 5,071

a = 67,5 − 5,071·6 = 37,07

ŷ = 37,07 + 5,071·x

Tahmin

ŷ = 37,07 + 5,071·4 = 57,36

Cevap

ŷ = 57,36

15.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 2,512

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

kentsel: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20

kırsal: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40

Ki-kare istatistiği

χ² = (7 − 8)²/8 + (9 − 12)²/12 + (24 − 20)²/20 + (17 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (36 − 40)²/40

χ² = 2,512

Cevap

χ² = 2,512

sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

16.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 23,63

Beklenen frekanslar

18–30 yaş: 40, 60

31–50 yaş: 40, 60

51+ yaş: 32, 48

Ki-kare istatistiği

χ² = (49 − 40)²/40 + (51 − 60)²/60 + (49 − 40)²/40 + (51 − 60)²/60 + (14 − 32)²/32 + (66 − 48)²/48

χ² = 23,63

Karar

df = 2, χ²_crit = 9,210

23,63 > 9,210

Cevap

χ² = 23,63

χ² kritik değerin üzerindedir, bu yüzden H₀ reddedilir: değişkenler ilişkili görünüyor.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology