Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir öğrenci ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan bir testten 130 alıyor. z puanı kaçtır?
- A2,0
- B1,5
- C3,0
- D0,5
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı bir veri kümesi üzerinde 20 analiz yapıyor ve yalnızca p < 0,05 olanı raporluyor. Bu uygulamaya ne denir?
- AKarşı dengeleme
- BÜçgenleme
- CÖn kayıt
- DP-hacking
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 49, 57, 59, 15, 26, 15, 37.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 92,5'ün altındadır?
μ = 100σ = 15x = 92,5
P =
5.OlasılıkOrta
Bir torbada 8 kırmızı ve 5 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?
8 / 5
P =
6.OlasılıkZor
12 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 12p = 0,2
P =
7.Normal dağılımOrta
bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 495,3 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 495,3 kg
P =
8.Normal dağılımZor
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %40 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 80 telefon, ortalama 88,5 h, bilinen standart sapma 17 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 97 h, bilinen standart sapma 7 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n₁ = 80x̄₁ = 88,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 40x̄₂ = 97 hσ₂ = 7 h90%
E = h
10.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 5 parsel, ortalama verim 19,5 kg, standart sapma 5 kg. Parsel grubu 2: 12 parsel, ortalama 20,5 kg, standart sapma 2,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 5x̄₁ = 19,5s₁ = 5n₂ = 12x̄₂ = 20,5s₂ = 2,590%t(15) = 1,753
alt sınır = kg
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 72,49, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 75x̄ = 72,49s = 8n = 49
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 15E = 2,599%
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3,5, 45) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(3,5, 45)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 2202 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
3 satır ve 3 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
3 × 3
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · 2,0
Cevap neden bu
(130 − 100) / 15 = 2. Puan ortalamanın iki standart sapma üzerindedir ve insanların yaklaşık %97–98'inden yüksektir.
Cevap
A · 2,0
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · P-hacking
Cevap neden bu
P-hacking anlamlılık elde etmek için analizdeki esneklikten yararlanır ve yanlış pozitif oranını %5'in çok üzerine çıkarır. Ön kayıt ve şeffaf raporlama bunu azaltır.
Cevap
D · P-hacking
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 18,78
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 258/7 = 36,86
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 12,14² + 20,14² + 22,14² + (−21,86)² + (−10,86)² + (−21,86)² + 0,1429² = 2117
Standart sapma
s = √(2117/6) = 18,78
Cevap
s = 18,78
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,3085
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,5
Standart normal tablo
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Cevap
P = 0,3085
5.Olasılık
Cevap: P = 0,359
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Birinci ve ikinci çekiş
P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0,359
Cevap
P = 0,359
6.Olasılık
Cevap: P = 0,2749
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,812 = 0,06872
P(X = 1) = 12·0,2·0,811 = 0,2062
Toplayın
P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749
Cevap
P = 0,2749
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,6915
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29,39 kg
Standartlaştırın
z = (495,3 − 510)/29,39 = −0,5
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Cevap
P = 0,6915
8.Normal dağılım
Cevap: x = 179,8 cm
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,6
Tablodan z
z ≈ 0,25
Özgün birimlere geri dönüş
x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm
Cevap
x = 179,8 cm
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 3,618 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 88,5 − 97 = −8,5
Standart hata
SE = √(17²/80 + 7²/40) = 2,199
Hata payı
E = 1,645·2,199 = 3,618
Cevap
E = 3,618 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
10.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −4,13 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (4·5² + 11·2,5²)/15 = 11,25
sp = 3,354
Hata payı
E = 1,753·3,354·√(1/5 + 1/12) = 3,13
Aralık
−1 ± 3,13 → [−4,13, 2,13]
Cevap
alt sınır = −4,13 kg
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −2,196
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Test istatistiği
t = (72,49 − 75)/1,143 = −2,196
Cevap
t = −2,196
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 239
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (2,576·15/2,5)² = 238,9
Yukarı yuvarlayın
n = 239
Cevap
n = 239
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9743
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 596/5 = 119,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1467
Korelasyon katsayısı
r = 236/√(40·1467) = 0,9743
Cevap
r = 0,9743
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 5,4
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 237/5 = 47,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52
Regresyon doğrusu
b = 52/10 = 5,2
a = 47,4 − 5,2·5 = 21,4
ŷ = 21,4 + 5,2·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 21,4 + 5,2·3,5 = 39,6
Artık
e = 45 − 39,6 = 5,4
Cevap
e = 5,4
Nokta doğrunun üstündedir.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 0,3492
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
sigara içenler: 100·154/220 = 70, 100·66/220 = 30
sigara içmeyenler: 120·154/220 = 84, 120·66/220 = 36
Ki-kare istatistiği
χ² = (68 − 70)²/70 + (32 − 30)²/30 + (86 − 84)²/84 + (34 − 36)²/36
χ² = 0,3492
Cevap
χ² = 0,3492
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 4
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4
Cevap
df = 4
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology