Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Tam normal bir dağılımda ne geçerlidir?
- AMod en düşük puandır
- BOrtalama, medyan ve mod eşittir
- CPuanların çoğu uçlardadır
- DOrtalama her zaman medyandan büyüktür
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir çalışma yalnızca profesyonel basketbolcularda boy ile IQ arasında r = 0,05'lik bir korelasyon buluyor; genel evrende ise korelasyon daha yüksek. Zayıf korelasyonu en iyi ne açıklar?
- AOrtalamaya gerileme
- BRanj kısıtlılığı
- CIQ testlerinde tavan etkisi
- DTalep özellikleri
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 36, 22, 46, 59, 24.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 158'ün üstündedir?
μ = 170σ = 12x = 158
P =
5.OlasılıkOrta
Bir torbada 6 kırmızı ve 6 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?
6 / 6
P =
6.OlasılıkZor
Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,7 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 6p = 0,7k = 3
P =
7.Normal dağılımOrta
cıvatalar kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 40 g, standart sapma 1,2 g. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 241,5 g değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6< 241.5 g
P =
8.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %20 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 100 puanσ = 15 puan20%
x = puan
9.Güven aralıklarıOrta
13 birimlik bir örneklemin ortalaması 52,5 ve standart sapması s = 2. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 13x̄ = 52,5s = 299%t(12) = 3,055
E =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 13. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 13E = 195%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 80 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 6 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 80,87. H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ ≠ 80 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 80σ = 6n = 144x̄ = 80,87H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 9 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 96.7’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 100μ = 96,7σ = 9n = 36α = 0,10
β = %
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 36Σy = 326Σx² = 286Σy² = 18418Σxy = 2174
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3,5, 12) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(3,5, 12)
e =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1802 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
3 satır ve 5 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
3 × 5
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Ortalama, medyan ve mod eşittir
Cevap neden bu
Normal dağılım simetrik ve çan biçimlidir; bu yüzden üç merkezî eğilim ölçüsünün üçü de merkezde yer alır.
Cevap
B · Ortalama, medyan ve mod eşittir
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Ranj kısıtlılığı
Cevap neden bu
Bir örneklem bir değişkenin yalnızca dar bir aralığını kapsadığında, o değişkeni içeren korelasyonlar azalır. Basketbolcuların hepsi uzundur; bu yüzden boy çok az değişir.
Cevap
B · Ranj kısıtlılığı
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,49
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 187/5 = 37,4
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−1,4)² + (−15,4)² + 8,6² + 21,6² + (−13,4)² = 959,2
Standart sapma
s = √(959,2/4) = 15,49
Cevap
s = 15,49
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,8413
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −1
Standart normal tablo
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
5.Olasılık
Cevap: P = 0,2273
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Birinci ve ikinci çekiş
P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273
Cevap
P = 0,2273
6.Olasılık
Cevap: P = 0,1852
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 3) = 20·0,73·0,33 = 20·0,343·0,027 = 0,1852
Cevap
P = 0,1852
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,695
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 240 g, σT = 1,2·√6 = 2,939 g
Standartlaştırın
z = (241,5 − 240)/2,939 = 0,51
Olasılık
P = Φ(0,51) = 0,695
Cevap
P = 0,695
8.Normal dağılım
Cevap: x = 112,6 puan
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,8
Tablodan z
z ≈ 0,84
Özgün birimlere geri dönüş
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 puan
Cevap
x = 112,6 puan
9.Güven aralıkları
Cevap: E = 1,695
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Hata payı
E = 3,055·2/√13 = 1,695
Cevap
E = 1,695
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 650
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·13/1)² = 649,2
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 650
Cevap
n = 650
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,08186
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (80,87 − 80)/0,5 = 1,74
Kuyruk alanı
Φ(1,74) = 0,9591
1 − Φ(1,74) = 0,0409
p-değeri
p = 2·0,0409 = 0,08186
Cevap
p = 0,08186
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: β = 17,93 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 100 − 1,282·1,5 = 98,08
Gerçek ortalama altında z
z = (98,08 − 96,7)/1,5 = 0,918
II. tip hata
güç = P(Z < 0.918) = 82.07%
β = 100% − 82,07% = 17,93%
Cevap
β = 17,93%
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9811
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 2174 − 36·326/6 = 218
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 18418 − 326²/6 = 705,3
Korelasyon katsayısı
r = 218/√(70·705,3) = 0,9811
Cevap
r = 0,9811
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −2,5
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 87/6 = 14,5
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54,5
Regresyon doğrusu
b = −54,5/17,5 = −3,114
a = 14,5 − (−3,114)·3,5 = 25,4
ŷ = 25,4 − 3,114·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 25,4 + (−3,114)·3,5 = 14,5
Artık
e = 12 − 14,5 = −2,5
Cevap
e = −2,5
Nokta doğrunun altındadır.
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 8,25
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
gündüz vardiyası: 60·27/180 = 9, 60·72/180 = 24, 60·81/180 = 27
gece vardiyası: 120·27/180 = 18, 120·72/180 = 48, 120·81/180 = 54
Ki-kare istatistiği
χ² = (6 − 9)²/9 + (18 − 24)²/24 + (36 − 27)²/27 + (21 − 18)²/18 + (54 − 48)²/48 + (45 − 54)²/54
χ² = 8,25
Cevap
χ² = 8,25
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 8
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
Cevap
df = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology