Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir araştırmacı uzak bir kasabaya televizyon gelmeden önce ve geldikten sonra çocukların saldırganlığını karşılaştırıyor. Araştırmacı televizyonun gelişini kontrol etmedi. Bu nedir?
- AAlan deneyi
- BLaboratuvar deneyi
- CTelevizyon izlemeye ilişkin korelasyonel anket
- DDoğal deney
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir bellek çalışması herkesin önce A listesini sonra B listesini öğrendiği tekrarlı ölçümler deseni kullanıyor. B listesinde hatırlama daha iyi. En olası kusur nedir?
- AKoşullar karşı dengelenmediği için alıştırma gibi sıra etkileri
- BGruplar arasındaki bireysel farklar
- CÇok büyük bir örneklem
- DSıralama düzeyinde ölçüm kullanılması
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 44, 47, 14, 30, 15.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 60 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 575'ün üstündedir?
μ = 500σ = 60x = 575
P =
5.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 7
P =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X + 5. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,15, 0,05Y = 10X + 5
σY =
7.Normal dağılımOrta
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 78,25 ile 118 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 100σ = 15x1 = 78,25x2 = 118
P =
8.Normal dağılımZor
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
9.Güven aralıklarıOrta
25 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 9,7. Aynı verilerden elde edilen %99 aralığın hata payı E₂ nedir?
90%n₁ = 25E₁ = 9,799%
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 36. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 36E = 199%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 73,4, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 75x̄ = 73,4s = 8n = 49
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 12. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,01güç = 95%δ = 2σ = 12zα = 2,326zβ = 1,645
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 51 tahmin eder?
n = 5ŷ = 51
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 2002 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
Tablo gözlenen frekansları gösteriyor. İki değişkenin bağımsız olup olmadığını α = 0,01 düzeyinde test edin (süreklilik düzeltmesi olmadan). Test istatistiği χ² değerini hesaplayın, sonra tablodaki kritik değerle karşılaştırın.
N = 2003 × 2α = 0,01
χ² =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Doğal deney
Cevap neden bu
Doğal deneyde bağımsız değişken araştırmacının kontrolü dışındaki olaylar nedeniyle değişir. Ekolojik geçerlik yüksektir, ancak seçkisiz atama mümkün değildir.
Cevap
D · Doğal deney
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Koşullar karşı dengelenmediği için alıştırma gibi sıra etkileri
Cevap neden bu
Tüm katılımcılar koşulları aynı sırayla yaşadığında, iyileşme listeden değil alıştırmadan kaynaklanıyor olabilir. Karşı dengeleme (ABBA veya yarısı AB, yarısı BA) bunu kontrol eder.
Cevap
A · Koşullar karşı dengelenmediği için alıştırma gibi sıra etkileri
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,54
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 150/5 = 30
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 14² + 17² + (−16)² + 0² + (−15)² = 966
Standart sapma
s = √(966/4) = 15,54
Cevap
s = 15,54
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,1056
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,25
Standart normal tablo
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Cevap
P = 0,1056
5.Olasılık
Cevap: P = 0,7209
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Cevap
P = 0,7209
6.Olasılık
Cevap: σY = 11,14
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 2,6, Var(X) = 1,24, σX = 1,114
Doğrusal değişim
σY = |10|·1,114 = 11,14
Cevap
σY = 11,14
Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·2,6 + 5 = 31.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8114
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45
z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2
Aradaki alan
P = Φ(1,2) − Φ(−1,45) = 0,8849 − 0,07353 = 0,8114
Cevap
P = 0,8114
8.Normal dağılım
Cevap: x = 182,7 cm
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
x’e geri dönüş
x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm
Cevap
x = 182,72 cm
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 15,19
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(25/25) = 1,566
Yeni hata payı
E₂ = 9,7·1,566 = 15,19
Cevap
E₂ = 15,19
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 8600
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·36/1)² = 8600
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 8600
Cevap
n = 8600
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −1,4
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Test istatistiği
t = (73,4 − 75)/1,143 = −1,4
Cevap
t = −1,4
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 568
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((2,326 + 1,645)·12/2)² = 567,7
Yukarı yuvarlayın
n = 568
Cevap
n = 568
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9385
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 101/6 = 16,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 178,8
Korelasyon katsayısı
r = −52,5/√(17,5·178,8) = −0,9385
Cevap
r = −0,9385
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 3,907
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 330/5 = 66
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194
Regresyon doğrusu
b = 194/40 = 4,85
a = 66 − 4,85·7 = 32,05
ŷ = 32,05 + 4,85·x
x için çözün
x = (51 − 32,05)/4,85 = 3,907
Cevap
x = 3,907
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 0,8929
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
sigara içenler: 80·140/200 = 56, 80·60/200 = 24
sigara içmeyenler: 120·140/200 = 84, 120·60/200 = 36
Ki-kare istatistiği
χ² = (59 − 56)²/56 + (21 − 24)²/24 + (81 − 84)²/84 + (39 − 36)²/36
χ² = 0,8929
Cevap
χ² = 0,8929
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 2,448
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
hat 1: 48, 32
hat 2: 24, 16
hat 3: 48, 32
Ki-kare istatistiği
χ² = (43 − 48)²/48 + (37 − 32)²/32 + (27 − 24)²/24 + (13 − 16)²/16 + (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32
χ² = 2,448
Karar
df = 2, χ²crit = 9,210
2,448 < 9,210
Cevap
χ² = 2,448
χ² kritik değerin altındadır, bu yüzden H₀ reddedilmez: anlamlı bir ilişki kanıtı yoktur.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology