Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
I. tip hata, bir araştırmacı ne yaptığında oluşur?
- AAslında doğru olan bir sıfır hipotezini reddettiğinde
- BYanlış bir sıfır hipotezini reddetmediğinde
- CYanlış istatistiksel testi kullandığında
- DÇok fazla veri topladığında
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir araştırmacı üzücü bir film göstererek duygu durumunu manipüle ediyor, sonra ana görevden önce katılımcılardan ne kadar üzgün hissettiklerini derecelendirmelerini istiyor. Bu derecelendirme neden dahil ediliyor?
- AKatılımcıları amaçlar hakkında bilgilendirmek için
- BBağımsız değişkenin amaçlandığı gibi işlediğini doğrulayan bir manipülasyon kontrolü olarak
- CÇalışmanın ana bağımlı değişkeni olarak
- DKoşulların sırasını karşı dengelemek için
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 18, 42, 24, 46, 57.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 165 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 170σ = 10x = 165
z =
5.OlasılıkOrta
Bir torbada 6 kırmızı ve 5 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?
6 / 5
P =
6.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 4. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,35, 0,1Y = −2X + 4
σY =
7.Normal dağılımOrta
kutular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 12 kg, standart sapma 0,8 kg. Bunlardan 5 tanesinin toplam kütlesinin 60,9 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 5> 60,9 kg
P =
8.Normal dağılımZor
Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Güven aralıklarıOrta
64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 8,8. 576 gözleme dayanan %90 aralığın hata payı E₂ nedir?
95%n₁ = 64E₁ = 8,890%n₂ = 576
E₂ =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 13. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 13E = 495%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 494, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 500x̄ = 494s = 20n = 36
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 500,2. Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 500,2σ = 12n = 2590%
L =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 20Σy = 371Σx² = 90Σy² = 28049Σxy = 1554
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 18 tahmin eder?
n = 5ŷ = 18
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
2 satır ve 4 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,01
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Aslında doğru olan bir sıfır hipotezini reddettiğinde
Cevap neden bu
I. tip hata var olmayan bir etkiyi iddia eder. Olasılığı anlamlılık düzeyine eşittir (genellikle 0,05). II. tip hata gerçek bir etkiyi kaçırır.
Cevap
A · Aslında doğru olan bir sıfır hipotezini reddettiğinde
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Bağımsız değişkenin amaçlandığı gibi işlediğini doğrulayan bir manipülasyon kontrolü olarak
Cevap neden bu
Manipülasyon kontrolü, bağımsız değişkenin amaçlanan psikolojik durumu oluşturduğunu doğrular. O olmadan anlamsız bir sonuç, manipülasyonun başarısız olduğu anlamına gelebilir.
Cevap
B · Bağımsız değişkenin amaçlandığı gibi işlediğini doğrulayan bir manipülasyon kontrolü olarak
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 16,09
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 187/5 = 37,4
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−19,4)² + 4,6² + (−13,4)² + 8,6² + 19,6² = 1035
Standart sapma
s = √(1035/4) = 16,09
Cevap
s = 16,09
4.Betimsel istatistik
Cevap: z = −0,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (165 − 170)/10 = −0,5
Cevap
z = −0,5
5.Olasılık
Cevap: P = 0,2727
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Birinci ve ikinci çekiş
P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727
Cevap
P = 0,2727
6.Olasılık
Cevap: σY = 1,819
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,35, Var(X) = 0,8275, σX = 0,9097
Doğrusal değişim
σY = |−2|·0,9097 = 1,819
Cevap
σY = 1,819
Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·1,35 + 4 = 1,3.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,3085
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 60 kg, σT = 0,8·√5 = 1,789 kg
Standartlaştırın
z = (60,9 − 60)/1,789 = 0,5
Olasılık
P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085
Cevap
P = 0,3085
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7389
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Cevap
P = 0,7389
9.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 2,462
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(64/576) = 0,2798
Yeni hata payı
E₂ = 8,8·0,2798 = 2,462
Cevap
E₂ = 2,462
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 41
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·13/4)² = 40,58
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 41
Cevap
n = 41
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −1,8
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Test istatistiği
t = (494 − 500)/3,333 = −1,8
Cevap
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 496,3
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·12/√25 = 3,948
Aralık sınırı
L = 500,2 − 3,948 = 496,3
Cevap
L = 496,3
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,97
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 1554 − 20·371/5 = 70
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 28049 − 371²/5 = 520,8
Korelasyon katsayısı
r = 70/√(10·520,8) = 0,97
Cevap
r = 0,97
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 4,286
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Regresyon doğrusu
b = −14/10 = −1,4
a = 19,8 − (−1,4)·3 = 24
ŷ = 24 − 1,4·x
x için çözün
x = (18 − 24)/(−1,4) = 4,286
Cevap
x = 4,286
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 3,544
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
kentsel: 40·28/140 = 8, 40·63/140 = 18, 40·49/140 = 14
kırsal: 100·28/140 = 20, 100·63/140 = 45, 100·49/140 = 35
Ki-kare istatistiği
χ² = (10 − 8)²/8 + (13 − 18)²/18 + (17 − 14)²/14 + (18 − 20)²/20 + (50 − 45)²/45 + (32 − 35)²/35
χ² = 3,544
Cevap
χ² = 3,544
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 11,35
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3
Tablo
χ²crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345
Cevap
χ²crit = 11,345
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology