Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Yayın yanlılığı neyi ifade eder?
- AAraştırmacıların aynı çalışmayı iki kez yayımlamasını
- BHakemlerin ünlü üniversitelerden gelen yazarların makalelerini daha az tanınanlara tercih etmesini
- CDergilerin yalnızca nitel araştırma yayımlamasını
- DAnlamlı sonuçlu çalışmaların anlamsız sonuçlulara göre yayımlanma olasılığının daha yüksek olmasını
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Kaygı puanları çok yüksek olduğu için seçilen hastalar, tedavi görmeden de ikinci bir testte daha düşük puan alıyor. En olası açıklama nedir?
- AKarşı dengeleme
- BHawthorne etkisi
- COrtalamaya gerileme
- DTavan etkisi
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 56, 27, 13, 35, 19.
n = 5
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 177,2'ün üstündedir?
μ = 170σ = 12x = 177,2
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,15, 0,15
σ =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,1 olasılıkla €4, 0,01 olasılıkla €40 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €2€4: p = 0,1€40: p = 0,01
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,3594 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,3594
z =
8.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 123,5 h, bilinen standart sapma 11 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 114,5 h, bilinen standart sapma 5 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 60x̄₁ = 123,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 80x̄₂ = 114,5 hσ₂ = 5 h90%
alt sınır = h
10.Güven aralıklarıZor
İşlenmiş 30 milin çaplarının örneklem standart sapması 1,8 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 29 ile χ² dağılımının %2,5’i 16,047 değerinin altında, %2,5’i 45,722 değerinin üstündedir.
n = 30s = 1,8 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
6 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 12,1 ve farkların standart sapması 7,6. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 6d̄ = 12,1sd = 7,6
t =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 15E = 2,590%
n =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 35Σy = 275Σx² = 285Σy² = 15409Σxy = 2025
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 55 tahmin eder?
n = 6ŷ = 55
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1402 × 3
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
3 satır ve 4 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Tabloyu kullanarak α = 0,05 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²crit’ı bulun.
α = 0,05
χ²crit =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: D · Anlamlı sonuçlu çalışmaların anlamsız sonuçlulara göre yayımlanma olasılığının daha yüksek olmasını
Cevap neden bu
Anlamlı olmayan çalışmalar çekmecelerde kaldığında yayımlanmış alanyazın etki büyüklüklerini olduğundan büyük gösterir; bu da meta-analizleri çarpıtır.
Cevap
D · Anlamlı sonuçlu çalışmaların anlamsız sonuçlulara göre yayımlanma olasılığının daha yüksek olmasını
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: C · Ortalamaya gerileme
Cevap neden bu
İnsanlar uç puanlarına göre seçildiğinde, ölçme hatası ve şans nedeniyle sonraki puanları ortalamaya doğru kayma eğilimindedir. Kontrol grupları bunu tedavi etkilerinden ayırmaya yardımcı olur.
Cevap
C · Ortalamaya gerileme
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 16,73
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 150/5 = 30
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 26² + (−3)² + (−17)² + 5² + (−11)² = 1120
Standart sapma
s = √(1120/4) = 16,73
Cevap
s = 16,73
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2743
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 0,6
Standart normal tablo
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Cevap
P = 0,2743
5.Olasılık
Cevap: σ = 1,288
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,15 + 5·0,15 = 2,8
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,15 + 25·0,15 = 9,5
Varyans
Var(X) = 9,5 − 2,8² = 1,66
σ = √1,66 = 1,288
Cevap
σ = 1,288
6.Olasılık
Cevap: E(G) = −1,2 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 2 (p = 0,1), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)
Beklenen değer
E(G) = 2·0,1 + 38·0,01 − 2·0,89 = −1,2 €
Cevap
E(G) = −1,2 €
Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: z = 0,36
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,3594 = 0,6406
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,6406 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 0,36
Cevap
z = 0,36
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9616
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77
Olasılık
P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616
Cevap
P = 0,9616
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 6,489 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 123,5 − 114,5 = 9
Standart hata
SE = √(11²/60 + 5²/80) = 1,526
Hata payı
E = 1,645·1,526 = 2,511
Aralık
9 ± 2,511 → [6,489, 11,51]
Cevap
alt sınır = 6,489 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
10.Güven aralıkları
Cevap: σ = 2,42 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
Kareler toplamı
(n − 1)s² = 29·1,8² = 93,96
σ² için sınırlar
93,96/45,722 = 2,055
93,96/16,047 = 5,855
σ için sınır
σ = √5,855 = 2,42 µm
Cevap
σ = 2,42 µm
σ için %95 aralık: [1,434, 2,42] µm.
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 3,9
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 7,6/√6 = 3,103
Test istatistiği
t = 12,1/3,103 = 3,9
Cevap
t = 3,9
df = 5 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,571; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 98
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (1,645·15/2,5)² = 97,42
Yukarı yuvarlayın
n = 98
Cevap
n = 98
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9382
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 2025 − 35·275/5 = 100
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 15409 − 275²/5 = 284
Korelasyon katsayısı
r = 100/√(40·284) = 0,9382
Cevap
r = 0,9382
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 4,612
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 326/6 = 54,33
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Regresyon doğrusu
b = 104/17,5 = 5,943
a = 54,33 − 5,943·4,5 = 27,59
ŷ = 27,59 + 5,943·x
x için çözün
x = (55 − 27,59)/5,943 = 4,612
Cevap
x = 4,612
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 1,6
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
öğrenciler: 40·28/140 = 8, 40·63/140 = 18, 40·49/140 = 14
personel: 100·28/140 = 20, 100·63/140 = 45, 100·49/140 = 35
Ki-kare istatistiği
χ² = (8 − 8)²/8 + (15 − 18)²/18 + (17 − 14)²/14 + (20 − 20)²/20 + (48 − 45)²/45 + (32 − 35)²/35
χ² = 1,6
Cevap
χ² = 1,6
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.
16.Ki-kare testleri
Cevap: χ²crit = 12,59
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
Tablo
χ²crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592
Cevap
χ²crit = 12,592
Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology