Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
Ki-kare testleri
- Test istatistiği
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uyum iyiliği
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Bağımsızlık
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Kritik değerler (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Karar
- χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin
2Alıştırma soruları
1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta
Bir araştırmacı tüm öğrencilere bir anket gönderiyor, ardından cevaplayanlardan nadir bir uyku uygulamasını kullanan arkadaşlarını da çalışmaya getirmelerini istiyor. İkinci adımda hangi örnekleme yöntemi kullanılıyor?
- ASistematik örnekleme
- BKartopu örnekleme
- CTabakalı örnekleme
- DSeçkisiz örnekleme
2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor
Bir çalışma yalnızca profesyonel basketbolcularda boy ile IQ arasında r = 0,05'lik bir korelasyon buluyor; genel evrende ise korelasyon daha yüksek. Zayıf korelasyonu en iyi ne açıklar?
- ARanj kısıtlılığı
- BTalep özellikleri
- COrtalamaya gerileme
- DIQ testlerinde tavan etkisi
3.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 29, 10, 46, 51, 40, 38, 60.
n = 7
s =
4.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 115'ün altındadır?
μ = 100σ = 10x = 115
P =
5.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,05, 0,3, 0,2
σ =
6.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,1 olasılıkla €2, 0,01 olasılıkla €10 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €1€2: p = 0,1€10: p = 0,01
E(G) = €
7.Normal dağılımOrta
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 22,4 ile 39,2 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 32σ = 6x1 = 22,4x2 = 39,2
P =
8.Normal dağılımZor
A koşucusunun tur süresi X ve B koşucusunun tur süresi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 52 s, standart sapması 4 s; Y’nin ortalaması 48 s, standart sapması 3 s’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.Güven aralıklarıOrta
15 birimlik bir örneklemin ortalaması 72,5 ve standart sapması s = 12,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 15x̄ = 72,5s = 12,590%t(14) = 1,761
alt sınır =
10.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 3. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 3E = 0,595%
n =
11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 100 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 123,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 9 mm. Hat 2: 30 parçalık bir örneklemin ortalaması 135 mm, bilinen standart sapması 19 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 123,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 30x̄₂ = 135 mmσ₂ = 19 mm
z =
12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 502. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 502σ = 20n = 2590%
L =
13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 30Σy = 62Σx² = 220Σy² = 946Σxy = 456
r =
14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 63 tahmin eder?
n = 5ŷ = 63
x =
15.Ki-kare testleriOrta
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
N = 1602 × 2
χ² =
16.Ki-kare testleriZor
3 satır ve 5 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
3 × 5
df =
3Çözeltiler
1.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: B · Kartopu örnekleme
Cevap neden bu
Kartopu örnekleme ulaşılması zor gruplar için yararlıdır, ancak örneklem büyük olasılıkla ortak özellikler taşır ve temsili değildir.
Cevap
B · Kartopu örnekleme
2.Psikolojide araştırma yöntemleri
Cevap: A · Ranj kısıtlılığı
Cevap neden bu
Bir örneklem bir değişkenin yalnızca dar bir aralığını kapsadığında, o değişkeni içeren korelasyonlar azalır. Basketbolcuların hepsi uzundur; bu yüzden boy çok az değişir.
Cevap
A · Ranj kısıtlılığı
3.Betimsel istatistik
Cevap: s = 16,21
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 274/7 = 39,14
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−10,14)² + (−29,14)² + 6,857² + 11,86² + 0,8571² + (−1,143)² + 20,86² = 1577
Standart sapma
s = √(1577/6) = 16,21
Cevap
s = 16,21
4.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9332
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,5
Standart normal tablo
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Cevap
P = 0,9332
5.Olasılık
Cevap: σ = 1,465
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,05
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,2 = 6,35
Varyans
Var(X) = 6,35 − 2,05² = 2,147
σ = √2,147 = 1,465
Cevap
σ = 1,465
6.Olasılık
Cevap: E(G) = −0,7 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 1 (p = 0,1), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)
Beklenen değer
E(G) = 1·0,1 + 9·0,01 − 1·0,89 = −0,7 €
Cevap
E(G) = −0,7 €
Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.
7.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8301
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6
z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2
Aradaki alan
P = Φ(1,2) − Φ(−1,6) = 0,8849 − 0,0548 = 0,8301
Cevap
P = 0,8301
8.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7881
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartlaştırın
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
9.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 66,82
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Hata payı
E = 1,761·12,5/√15 = 5,684
Aralık
72,5 ± 5,684 → [66,82, 78,18]
Cevap
alt sınır = 66,82
10.Güven aralıkları
Cevap: n = 139
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·3/0,5)² = 138,3
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 139
Cevap
n = 139
11.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −3,209
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(9²/100 + 19²/30) = √12,84 = 3,584
Test istatistiği
z = (123,5 − 135)/3,584 = −3,209
Cevap
z = −3,209
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
12.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 495,4
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·20/√25 = 6,58
Aralık sınırı
L = 502 − 6,58 = 495,4
Cevap
L = 495,4
13.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9977
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 456 − 30·62/5 = 84
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 946 − 62²/5 = 177,2
Korelasyon katsayısı
r = 84/√(40·177,2) = 0,9977
Cevap
r = 0,9977
14.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 19,91
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 337/5 = 67,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Regresyon doğrusu
b = 162/40 = 4,05
a = 67,4 − 4,05·21 = −17,65
ŷ = −17,65 + 4,05·x
x için çözün
x = (63 − (−17,65))/4,05 = 19,91
Cevap
x = 19,91
15.Ki-kare testleri
Cevap: χ² = 3,956
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Beklenen frekanslar
sigara içenler: 80·56/160 = 28, 80·104/160 = 52
sigara içmeyenler: 80·56/160 = 28, 80·104/160 = 52
Ki-kare istatistiği
χ² = (34 − 28)²/28 + (46 − 52)²/52 + (22 − 28)²/28 + (58 − 52)²/52
χ² = 3,956
Cevap
χ² = 3,956
sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
16.Ki-kare testleri
Cevap: df = 8
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
Serbestlik derecesi
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
Cevap
df = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology