Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 16 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

Ki-kare testleri

Test istatistiği: χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar: χ² > χ²_crit ise H₀’ı reddedin

2Alıştırma soruları

1.Psikolojide araştırma yöntemleriOrta

Normal bir dağılımda puanların yaklaşık yüzde kaçı ortalamanın bir standart sapma çevresinde yer alır?

A%50
B%95
C%68
D%99,7

2.Psikolojide araştırma yöntemleriZor

Bir çalışma yalnızca profesyonel basketbolcularda boy ile IQ arasında r = 0,05'lik bir korelasyon buluyor; genel evrende ise korelasyon daha yüksek. Zayıf korelasyonu en iyi ne açıklar?

AIQ testlerinde tavan etkisi
BRanj kısıtlılığı
CTalep özellikleri
DOrtalamaya gerileme

3.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 24, 23, 20, 29, 29, 27, 24.

n = 7

s =

4.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 50 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 450'ün altındadır?

μ = 500σ = 50x = 450

P =

5.OlasılıkOrta

Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

5 / 3

P =

6.OlasılıkZor

Bir testte 10 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 4 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 10p = 0,2k = 4

P =

7.Normal dağılımOrta

cıvatalar kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 40 g, standart sapma 1,2 g. Bunlardan 5 tanesinin toplam kütlesinin 202,7 g değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 202,7 g

P =

8.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %90 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

9.Güven aralıklarıOrta

7 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 4,6 ve standart sapması 3,9. Ortalama fark için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 7d̄ = 4,6s_d = 3,995%t(6) = 2,447

üst sınır = mmHg

10.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 21 milin çaplarının örneklem standart sapması 10,3 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 20 ile χ² dağılımının %2,5’i 9,591 değerinin altında, %2,5’i 34,17 değerinin üstündedir.

n = 21s = 10,3 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 7 öğrenci, ortalama puan 102,5, standart sapma 2,5. Grup 2: 10 öğrenci, ortalama puan 111,9, standart sapma 10. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 7x̄₁ = 102,5s₁ = 2,5n₂ = 10x̄₂ = 111,9s₂ = 10

t =

12.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1,5 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 6. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,01güç = 90%δ = 1,5σ = 6z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 21Σy = 194Σx² = 91Σy² = 6370Σxy = 714

r =

14.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 18,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 18,5

ŷ =

15.Ki-kare testleriOrta

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Ki-kare testleriZor

Bir ki-kare uyum iyiliği testi, 10 kategorideki gözlenen frekansları tam olarak belirlenmiş beklenen oranlarla karşılaştırıyor (verilerden parametre tahmin edilmiyor). Tabloyu kullanarak α = 0,01 anlamlılık düzeyinde kritik değer χ²_crit’ı bulun.

α = 0,01

χ²_crit =

3Çözeltiler

1.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: C · %68

Cevap neden bu

Puanların yaklaşık %68'i ±1 SS içinde, yaklaşık %95'i ±2 SS içinde ve yaklaşık %99,7'si ±3 SS içinde yer alır.

Cevap

C · %68

2.Psikolojide araştırma yöntemleri

Cevap: B · Ranj kısıtlılığı

Cevap neden bu

Bir örneklem bir değişkenin yalnızca dar bir aralığını kapsadığında, o değişkeni içeren korelasyonlar azalır. Basketbolcuların hepsi uzundur; bu yüzden boy çok az değişir.

Cevap

B · Ranj kısıtlılığı

3.Betimsel istatistik

Cevap: s = 3,338

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 176/7 = 25,14

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−1,143)² + (−2,143)² + (−5,143)² + 3,857² + 3,857² + 1,857² + (−1,143)² = 66,86

Standart sapma

s = √(66,86/6) = 3,338

Cevap

s = 3,338

4.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

5.Olasılık

Cevap: P = 0,3571

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Cevap

P = 0,3571

6.Olasılık

Cevap: P = 0,08808

Binom formülü

P(X = 4) = 210·0,2⁴·0,8⁶ = 210·0,0016·0,2621 = 0,08808

Cevap

P = 0,08808

7.Normal dağılım

Cevap: P = 0,1562

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Standartlaştırın

z = (202,7 − 200)/2,683 = 1,01

Olasılık

P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562

Cevap

P = 0,1562

8.Normal dağılım

Cevap: x = 243,6 g

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,1

Tablodan z

z ≈ −1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Cevap

x = 243,6 g

9.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 8,207 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 6, t = 2,447

Hata payı

E = 2,447·3,9/√7 = 3,607

Aralık

4,6 ± 3,607 → [0,993, 8,207]

Cevap

üst sınır = 8,207 mmHg

10.Güven aralıkları

Cevap: σ = 14,87 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 20·10,3² = 2122

σ² için sınırlar

2122/34,17 = 62,1

2122/9,591 = 221,2

σ için sınır

σ = √221,2 = 14,87 µm

Cevap

σ = 14,87 µm

σ için %95 aralık: [7,88, 14,87] µm.

11.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,413

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (6·2,5² + 9·10²)/15 = 62,5

s_p = 7,906

Standart hata

SE = 7,906·√(1/7 + 1/10) = 3,896

Test istatistiği

t = (102,5 − 111,9)/3,896 = −2,413

Cevap

t = −2,413

df = 15 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,131; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

12.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 209

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((2,326 + 1,282)·6/1,5)² = 208,3

Yukarı yuvarlayın

n = 209

Cevap

n = 209

13.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,848

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 714 − 21·194/6 = 35

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 6370 − 194²/6 = 97,33

Korelasyon katsayısı

r = 35/√(17,5·97,33) = 0,848

Cevap

r = 0,848

14.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 94,85

Ortalamalar

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 610/5 = 122

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 543

Regresyon doğrusu

b = 543/90 = 6,033

a = 122 − 6,033·23 = −16,77

ŷ = −16,77 + 6,033·x

Tahmin

ŷ = −16,77 + 6,033·18,5 = 94,85

Cevap

ŷ = 94,85

15.Ki-kare testleri

Cevap: χ² = 4,059

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

gündüz vardiyası: 100·24/160 = 15, 100·64/160 = 40, 100·72/160 = 45

gece vardiyası: 60·24/160 = 9, 60·64/160 = 24, 60·72/160 = 27

Ki-kare istatistiği

χ² = (14 − 15)²/15 + (46 − 40)²/40 + (40 − 45)²/45 + (10 − 9)²/9 + (18 − 24)²/24 + (32 − 27)²/27

χ² = 4,059

Cevap

χ² = 4,059

sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

16.Ki-kare testleri

Cevap: χ²_crit = 21,67

Serbestlik derecesi

df = 10 − 1 = 9

Tablo

χ²_crit(df = 9, α = 0,01) = 21,666

Cevap

χ²_crit = 21,666

Hesaplanan χ² bu değerden büyükse H₀’ı reddedin.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology