İşaretler ve Sistemler: hızlı tekrar paketi

Sürekli evrişim: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. h’yi çevirin, t konumuna kaydırın ve çakışan kısımların çarpımını integre edin. Nedensel işaretler için integral 0’dan t’ye kadar alınır. Yararlı sonuçlar: y’nin alanı, x’in alanı çarpı h’nin alanıdır; x, t₁’den t₂’ye ve h, t₃’ten t₄’e kadar sürüyorsa y, t₁ + t₃’ten t₂ + t₄’e kadar sürer. h(t) = e^−atu(t) ve A yüksekliğinde bir basamak için y(t) = (A/a)(1 − e^−at).

Darbe yanıtı ve Fourier serisi: h(t) darbe yanıtı bir LTI sistemi tamamen tanımlar: y′ + a·y = b·x için h(t) = b·e^−atu(t), y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] için ise h[n] = b·aⁿu[n]’dir. cos ωt sinüsü, |H(jω)| kazancı ve ∠H(jω) fazıyla geçer; burada H, h’nin Fourier dönüşümüdür. Periyodik bir işaret, k/T’deki harmoniklerin toplamıdır: ±A’lık bir kare dalgada yalnızca tek harmonikler vardır ve genlikleri 4A/(kπ)’dir; tepe değeri A olan bir üçgen dalgada 8A/(π²k²), A yüksekliğinde ve D görev oranında bir darbe katarında ise ortalama A·D ve harmonikler (2A/(kπ))·|sin(kπD)|’dir.

Laplace dönüşümü: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt türevleri s ile çarpmaya çevirir: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standart çiftler: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²); s → s + σ kayması zaman fonksiyonunu e^−σt ile çarpar. Rasyonel bir F(s)’in ters dönüşümünü almak için onu kısmi kesirlere ayırın: basit bir p kutbunun kalıntısı A = [(s − p)·F(s)] değerinin s = p’deki değeridir. Son değer teoremi: f(∞) = lim_s→0 s·F(s); yalnızca s·F(s)’in tüm kutupları sol yarı düzlemdeyse geçerlidir. Başlangıç değeri teoremi: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Laplace dönüşümü: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt türevleri s ile çarpmaya çevirir: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standart çiftler: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²); s → s + σ kayması zaman fonksiyonunu e^−σt ile çarpar. Rasyonel bir F(s)’in ters dönüşümünü almak için onu kısmi kesirlere ayırın: basit bir p kutbunun kalıntısı A = [(s − p)·F(s)] değerinin s = p’deki değeridir. Son değer teoremi: f(∞) = lim_s→0 s·F(s); yalnızca s·F(s)’in tüm kutupları sol yarı düzlemdeyse geçerlidir. Başlangıç değeri teoremi: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Basamak yanıtı: birinci dereceden bir G(s) = K/(τs + 1) sistemi, U büyüklüğündeki basamağa y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) ile yanıt verir: bir zaman sabiti τ sonra K·U son değerinin %63,2’sine, 4τ sonra %98’ine ulaşır. İkinci dereceden bir G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) sisteminin kutupları s = −ζωₙ ± jω_d’dir; ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). 0 < ζ < 1 için basamak yanıtı aşım yapar: yüzde aşım %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tepe zamanı t_p = π/ω_d ve %2 yerleşme süresi t_s ≈ 4/(ζωₙ). ωₙ ve ζ’yi okumak için paydayı s² + 2ζωₙs + ωₙ² ile karşılaştırın. Kütle–yay–sönümleyici için ωₙ = √(k/m) ve ζ = c/(2√(km)); seri RLC devresi için ωₙ = 1/√(LC) ve ζ = (R/2)·√(C/L).

Basamak yanıtı: birinci dereceden bir G(s) = K/(τs + 1) sistemi, U büyüklüğündeki basamağa y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) ile yanıt verir: bir zaman sabiti τ sonra K·U son değerinin %63,2’sine, 4τ sonra %98’ine ulaşır. İkinci dereceden bir G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) sisteminin kutupları s = −ζωₙ ± jω_d’dir; ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). 0 < ζ < 1 için basamak yanıtı aşım yapar: yüzde aşım %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tepe zamanı t_p = π/ω_d ve %2 yerleşme süresi t_s ≈ 4/(ζωₙ). ωₙ ve ζ’yi okumak için paydayı s² + 2ζωₙs + ωₙ² ile karşılaştırın. Kütle–yay–sönümleyici için ωₙ = √(k/m) ve ζ = c/(2√(km)); seri RLC devresi için ωₙ = 1/√(LC) ve ζ = (R/2)·√(C/L).

Frekans yanıtı: transfer fonksiyonunda s = jω koyun. Desibel cinsinden genlik 20·log₁₀|H(jω)|’dır ve faz, payın çarpanlarının açıları toplamından paydanınkilerin çıkarılmasıdır. Birinci dereceden bir RC ya da RL filtresinin köşe (−3 dB) frekansı ω_c = 1/(RC) ya da R/L ve f_c = ω_c/(2π)’dir; bir alçak geçiren filtre |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ve φ = −atan(ω/ω_c) verir. Asimptotik (doğru parçalı) Bode diyagramında her kutup genliği köşe frekansında 20 dB/dekad aşağı büker, her sıfır 20 dB/dekad yukarı büker ve bir integratör 1/s her frekansta −20 dB/dekad verir. Kazanç kesişimi ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); faz payı PM = 180° + ∠L(jω_c). Faz kesişimi ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; kazanç payı GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. İki pay da pozitifse kapalı çevrim kararlıdır.

Frekans yanıtı: transfer fonksiyonunda s = jω koyun. Desibel cinsinden genlik 20·log₁₀|H(jω)|’dır ve faz, payın çarpanlarının açıları toplamından paydanınkilerin çıkarılmasıdır. Birinci dereceden bir RC ya da RL filtresinin köşe (−3 dB) frekansı ω_c = 1/(RC) ya da R/L ve f_c = ω_c/(2π)’dir; bir alçak geçiren filtre |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ve φ = −atan(ω/ω_c) verir. Asimptotik (doğru parçalı) Bode diyagramında her kutup genliği köşe frekansında 20 dB/dekad aşağı büker, her sıfır 20 dB/dekad yukarı büker ve bir integratör 1/s her frekansta −20 dB/dekad verir. Kazanç kesişimi ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); faz payı PM = 180° + ∠L(jω_c). Faz kesişimi ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; kazanç payı GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. İki pay da pozitifse kapalı çevrim kararlıdır.