Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (−5, 1, −6) ve b = (k, −2, −2) vektörlerinin dik olduğu k değerini bulun.

a = (−5, 1, −6)b = (k, −2, −2)

k =

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

a = (−4, −4, −3) ve b = (2, −5, −2) için a × b vektörel çarpımının z bileşenini (a × b)_z bulun.

a = (−4, −4, −3)b = (2, −5, −2)

(a × b)_z =

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 1 m uzaklıkta saat yönünün tersine dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_B değerini bulun.

L = 5 mP = 55 kN @ 4,5 mM = 20 kN·m (saat yönünün tersine) @ 1 m

R_B = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda 10 kN/m olan ve serbest uç B’de sıfıra azalan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 6 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 20 kN @ 6 m

M_A = kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 45 kN

F_BC = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 60 kNyatay yük = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen mafsallı sıkıştırma mengenesinde, eşit AB ve BC bağlantı elemanları B’de birbirine pimlenmiştir ve her biri AC doğrusuyla 20° yapar. B’ye 150 N’luk aşağı yönlü bir kuvvet uygulanır. C kızağı bir iş parçasına bastırır. Sürtünmeyi ve ağırlıkları yok sayarak yatay sıkma kuvvetini Q bulun.

F = 150 Nθ = 20°

Q = N

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 4 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor; tepe pimi C 2 m yüksekte, yatay DE bağı ise zeminden 0,6 m yukarıda. AC bacağına, A’dan (yatayda) 1,2 m uzaktaki K noktasında 10 kN’luk düşey bir yük etkiyor. C pimi’nin BC bacağına uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü C bulun.

P = 10 kNAB = 4 mC’nin yüksekliği = 2 mDE’nin yüksekliği = 0,6 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 1,2 m

C = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 12 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 3,5 m

M_x = kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

40 kN @ 12 m12 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 140 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 190 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 8 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

b = 140 mmh = 190 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 50 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_alt = MPa

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: k = 2

Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ bir skalerdir. İki vektör arasındaki açıyı verir, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ve vektörler dik olduğunda sıfırdır. a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü a·b/|b|’dir ve d yer değiştirmesi boyunca hareket eden sabit bir F kuvveti W = F·d işi yapar.

Skaler çarpım sıfıra eşit

a·b = (−5)·k + 1·(−2) + (−6)·(−2) = 0

10 + (−5)·k = 0

k için çözün

k = −10/(−5) = 2

Cevap

k = 2

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: (a × b)_z = 28

Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) her iki vektöre de diktir ve |a × b| = |a|·|b|·sin θ, bu vektörlerin gerdiği paralelkenarın alanıdır (üçgen bunun yarısıdır). Sıra önemlidir: b × a = −(a × b). A noktasına uygulanan F kuvvetinin O noktasına göre momenti M_O = r × F’dir; burada r = A − O.

Vektörel çarpım, bileşen bileşen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−2) − (−3)·(−5) = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·2 − (−4)·(−2) = −14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·(−5) − (−4)·2 = 28

İstenen bileşen

(a × b)_z = 28

Cevap

(a × b)_z = 28

Kontrol: a × b her iki vektöre de diktir, bu yüzden a ve b ile skaler çarpımı sıfırdır.

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 45,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 55·4,5 + 20 = 0

R_B = 227,5/5 = 45,5 kN

Düşey denge

R_A = 55 − 45,5 = 9,5 kN

Cevap

R_B = 45,5 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 286,7 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir R_A tepkisi ve bir M_A tepki momenti verir. ΣF_y = 0, R_A’yı; duvara göre momentler M_A = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Duvara göre moment

M_A = W·x̄ + P·a = 50·3,333 + 20·6 = 286,7 kN·m

Cevap

M_A = 286,7 kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −34,79 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 → C_y = 33,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33,75 = 11,25 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,75/0,9701 = −34,79 kN

Cevap

F_BC = −34,79 kN (basınç)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −55 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·3 − 25·4 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 16 = 44 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −44/0,8 = −55 kN

Cevap

F_AB = −55 kN (basınç)

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: Q = 206,1 N

Makineler: penseler, kaldıraçlar, bağlantı sistemleri ve kıskaçlar bir giriş kuvvetini daha büyük ya da farklı yönlü bir çıkış kuvvetine çevirir. Bir parçayı serbest cisim olarak çizin ve dönme noktasına göre moment alın: pim kuvveti denklemden çıkar ve F_in·a = F_out·b mekanik kazancı a/b olarak verir. Pim kuvveti, aynı parça için ΣF = 0 denkleminden bulunur. Mafsallı bir mengenede iki bağlantı elemanı sığ bir θ açısıyla buluşur; her bağlantı elemanı bir iki kuvvet elemanıdır, bu yüzden bağlantı noktasındaki küçük bir F kuvveti büyük F/(2 sin θ) eleman kuvvetleri ve F/(2 tan θ) sıkma kuvveti oluşturur.

B pimi dengesi

2·F_link·sin 20° = 150

F_link = 219,3 N

Sıkma kuvveti

Q = F_link·cos 20° = 150/(2·tan 20°) = 206,1 N

Cevap

Q = 206,1 N

Bağlantı elemanları düzleştikçe Q/F = 1,374 kuvvet oranı sınırsız büyür.

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: C = 5,231 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

B’deki mesnet tepkisi

B_y = 10·1,2/4 = 3 kN

Bağ kuvveti

T = 3·2/1,4 = 4,286 kN

BC üzerindeki pim kuvveti

C_x = 4,286 kN, C_y = −3 kN

C = √(4,286² + 3²) = 5,231 kN

Cevap

C = 5,231 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 136,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 60·3,5 − 12·3,5·1,75 = 136,5 kN·m

Cevap

M_x = 136,5 kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 28 kN, R₂ = 108 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 32, M_C = 16, M_D = −48, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −160 kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: ȳ = 72,61 mm

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 140·8 = 1120 mm², y₁ = 4 mm

iki kol: A₂ = 2·8·182 = 2912 mm², y₂ = 8 + 182/2 = 99 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1120·4 + 2912·99)/4032 = 72,61 mm

Cevap

ȳ = 72,61 mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 243,6 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

gövde: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·230 + 3080·110)/6280 = 171,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 160·20³/12 + 3200·(230 − 171,1)² = 1,119 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·220³/12 + 3080·(110 − 171,1)² = 2,394 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,119 × 10⁷ + 2,394 × 10⁷ = 3,513 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 171,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·171,1/3,513 × 10⁷ = 243,6 MPa

Cevap

σ_alt = 243,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics