Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
Sabit bir F = (0, −25, −15) N kuvveti, bir cisme A(5, −3, −4) noktasından B(2, 2, 4) noktasına doğrusal hareket ederken etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin yaptığı işi W bulun.
F = (0, −25, −15) NA(5, −3, −4) mB(2, 2, 4) m
W = J
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
n̂ birim vektörü hem a = (−5, −3, 4) hem de b = (2, −4, −1) vektörüne diktir ve pozitif z bileşenine sahiptir. Onun y bileşenini n̂y bulun.
a = (−5, −3, 4)b = (2, −4, −1)n̂z > 0
n̂y =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 6 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.
AB = 6 mAC = 8 mP1 = 30 kN @ 5 mP2 = 60 kN @ 8 m
RB = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4,5 m uzaklıkta yatayla 50° açı yapan bir P yükü ve A’dan 3 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvveti ile yatay arasındaki açı α değerini bulun.
L = 6 mP = 30 kN @ 4,5 m, θ = 50°Q = 65 kN @ 3 m
α = °
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.
açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 40 kNyatay yük = 30 kN →
FBC = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen çerçevenin A, B ve C’de pimleri var; A ve C birbirinden 3 m uzaktaki noktalarda zemine sabitlenmiştir, B ise zeminden 2 m yukarıda ve A’nın 0,45 m sağındadır. AB elemanına, A’dan (yatayda) 0,18 m uzaktaki K noktasında 4 kN’luk düşey bir yük etkiyor. BC elemanındaki kuvveti FBC bulun.
Ağırlığı 2 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve B’den duvardaki, A’nın 2,5 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 6 kN’luk bir yük asılıdır. Pim tepkisinin büyüklüğünü A bulun.
W = 6 kNWb = 2 kNAB = 6 mAC = 2,5 m
A = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.
20 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
A mesnedinden x = 4 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 10 mP = 50 kN @ 4 mw = 5 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 4 m
Mx = kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.
bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 25 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σalt değerini bulun.
Skaler çarpım:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ bir skalerdir. İki vektör arasındaki açıyı verir, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ve vektörler dik olduğunda sıfırdır. a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü a·b/|b|’dir ve d yer değiştirmesi boyunca hareket eden sabit bir F kuvveti W = F·d işi yapar.
Yer değiştirme
d = B − A = (2, 2, 4) − (5, −3, −4) = (−3, 5, 8) m
İş
W = F·d = 0·(−3) + (−25)·5 + (−15)·8 = −245 J
Cevap
W = −245 J
Negatif iş: kuvvet çoğunlukla harekete karşı etki ediyor.
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: n̂y = 0,09276
Vektörel çarpım:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) her iki vektöre de diktir ve |a × b| = |a|·|b|·sin θ, bu vektörlerin gerdiği paralelkenarın alanıdır (üçgen bunun yarısıdır). Sıra önemlidir: b × a = −(a × b). A noktasına uygulanan F kuvvetinin O noktasına göre momenti MO = r × F’dir; burada r = A − O.
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
A’ya göre momentler
Saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: RB·6 = 30·5 + 60·8
RB = 630/6 = 105 kN
Düşey denge
RA = 30 + 60 − 105 = −15 kN
Cevap
RB = 105 kN
RA negatif: A’daki mafsal kirişi aşağı tutmak zorundadır.
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: α = 63,24 °
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
P’nin bileşenleri
Pv = 30·sin 50° = 22,98 kN
Ph = 30·cos 50° = 19,28 kN
Tepkiler
ΣMA = 0: RB·6 = 22,98·4,5 + 65·3 → RB = 49,74 kN
Ay = 22,98 + 65 − 49,74 = 38,25 kN
Ax = Ph = 19,28 kN
A’daki yön
α = atan(Ay/Ax) = atan(38,25/19,28) = 63,24°
Cevap
α = 63,24°
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: CG elemanı
Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.
G düğüm noktası
FG ve GH aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin
Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 + 30·3 → Cy = 32,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 32,5 = 7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
İki kuvvet elemanı BC
BC = √(2,55² + 2²) = 3,241 m
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
Zemin, C’de BC’ye CB boyunca iter; yatay bileşeni A’dan geçer, yalnızca düşey bileşenin momenti vardır.
FBC·(2/3,241)·3 = 4·0,18
FBC = 0,3889 kN (basınç)
Cevap
FBC = 0,3889 kN
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: A = 16,83 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Kablodaki çekme kuvveti
T = (6 + 2/2)/0,3846 = 18,2 kN
A’daki bileşenler
Ax = T·cos β = 16,8 kN
Ay = 6 + 2 − T·sin β = 1 kN
Büyüklük
A = √(16,8² + 1²) = 16,83 kN
Cevap
A = 16,83 kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: D (x = 6 m)
En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.
Mesnet tepkileri
Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.
R1 = 100 kN, R2 = 100 kN
Her işaretteki eğilme momenti
Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.
MA = 0, MB = 170, MC = 280, MD = 330 kN·m, ME = 280, MF = 170, MG = 0
Cevap
İşaret D: MD = 330 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = 180 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 50·4 + 5·10·5
RB = 450/10 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 45 = 55 kN
x = 4 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun
Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.
M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 55·4 − 5·4·2 = 180 kN·m
Cevap
Mx = 180 kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 31,08 × 10⁶ mm⁴
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
gövde: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 300 + 25/2 = 312,5 mm
gövde: Aw = 14·300 = 4200 mm², yw = 300/2 = 150 mm