Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (5, −4, 4) ve b = (−3, 5, 1) vektörleri arasındaki θ açısını derece cinsinden bulun.

a = (5, −4, 4)b = (−3, 5, 1)

θ = °

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

a = (1, −2, 3) ve b = (4, −3, −3) için a × b vektörel çarpımının x bileşenini (a × b)_x bulun.

a = (1, −2, 3)b = (4, −3, −3)

(a × b)_x =

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 0,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 2 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_A değerini bulun.

L = 4 mP = 30 kN @ 0,5 mM = 15 kN·m (saat yönünde) @ 2 m

R_A = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 8 mP = 30 kN @ 6 mw = 5 kN/m, 6 ile 7 m arasında

R_B = kN

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

F: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

C: 30 kN ↓D: 35 kN ↓F: 10 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ←

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12FC elemanı
13HC elemanı

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen çerçevenin A, B ve C’de pimleri var; A ve C birbirinden 5 m uzaktaki noktalarda zemine sabitlenmiştir, B ise zeminden 3 m yukarıda ve A’nın 1,5 m sağındadır. AB elemanına, A’dan (yatayda) 0,6 m uzaktaki K noktasında 12 kN’luk düşey bir yük etkiyor. BC elemanındaki kuvveti F_BC bulun.

P = 12 kNL = 5 mH = 3 mA’dan B’ye yatay uzaklık = 1,5 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 0,6 m

F_BC = kN

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Gösterilen duvar konsolunun AB kirişi A’da pimlenmiştir ve CD payandasıyla desteklenmiştir (C, A’nın 0,5 m altındadır). Kiriş tüm uzunluğu boyunca 2,5 kN/m düzgün yayılı yük ve serbest ucu B’de 12 kN’luk bir tekil yük taşır. Payandadaki kuvveti F_CD bulun.

w = 2,5 kN/mP = 12 kNAD = 2 mAB = 3,6 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 6 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 3 m

V_x = kN

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 6 mP = 25 kN @ 4,5 mw = 12 kN/m, 0 ile 6 m arasında

M_max = kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 240 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 80 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 10 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b = 240 mmh = 80 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 40 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_üst = MPa

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: θ = 134 °

Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ bir skalerdir. İki vektör arasındaki açıyı verir, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ve vektörler dik olduğunda sıfırdır. a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü a·b/|b|’dir ve d yer değiştirmesi boyunca hareket eden sabit bir F kuvveti W = F·d işi yapar.

Skaler çarpım

a·b = 5·(−3) + (−4)·5 + 4·1 = −31

Büyüklükler

|a| = √(5² + (−4)² + 4²) = 7,55

|b| = √((−3)² + 5² + 1²) = 5,916

Açı

cos θ = −31/(7,55·5,916) = −0,694

θ = arccos(−0,694) = 134°

Cevap

θ = 134°

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: (a × b)_x = 15

Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) her iki vektöre de diktir ve |a × b| = |a|·|b|·sin θ, bu vektörlerin gerdiği paralelkenarın alanıdır (üçgen bunun yarısıdır). Sıra önemlidir: b × a = −(a × b). A noktasına uygulanan F kuvvetinin O noktasına göre momenti M_O = r × F’dir; burada r = A − O.

Vektörel çarpım, bileşen bileşen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−3) − 3·(−3) = 15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·4 − 1·(−3) = 15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·(−3) − (−2)·4 = 5

İstenen bileşen

(a × b)_x = 15

Cevap

(a × b)_x = 15

Kontrol: a × b her iki vektöre de diktir, bu yüzden a ve b ile skaler çarpımı sıfırdır.

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 22,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 30·0,5 − 15 = 0

R_B = 30/4 = 7,5 kN

Düşey denge

R_A = 30 − 7,5 = 22,5 kN

Cevap

R_A = 22,5 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 26,56 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, x̄ = 6,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·6 + 5·1·6,5

R_B = 212,5/8 = 26,56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 26,56 = 8,438 kN

Cevap

R_B = 26,56 kN

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 33,75 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 46,25 kN (T), FG: 33,75 kN (C), GH: 46,25 kN (C), AF: 47,73 kN (C), HE: 65,41 kN (C), BF: 18,75 kN (T), CG: 0, DH: 6,25 kN (T), BG: 26,52 kN (C), DG: 8,839 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: BF elemanı

B düğüm noktası

AB ve BC aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca BF’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 13,75 kN (T), BC: 13,75 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 47,73 kN (T), HC: 8,839 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: BF

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: F_BC = 2,213 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

İki kuvvet elemanı BC

BC = √(3,5² + 3²) = 4,61 m

Tüm çerçeve: A’ya göre momentler

Zemin, C’de BC’ye CB boyunca iter; yatay bileşeni A’dan geçer, yalnızca düşey bileşenin momenti vardır.

F_BC·(3/4,61)·5 = 12·0,6

F_BC = 2,213 kN (basınç)

Cevap

F_BC = 2,213 kN

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: F_CD = 122,5 kN

Düzgün yükün bileşkesi

w·L = 2,5·3,6 = 9 kN @ 1,8 m

Kiriş için A’ya göre momentler

F_CD·0,2425·2 = 9·1,8 + 12·3,6 = 59,4 kN·m

F_CD = 122,5 kN

Cevap

F_CD = 122,5 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = −3 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 15 − 6·3 = −3 kN

Cevap

V_x = −3 kN

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 74,38 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·4,5 + 12·6·3

R_B = 328,5/6 = 54,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 97 − 54,75 = 42,25 kN

V = 0 nerede?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 42,25/12 = 3,521 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 42,25·3,521 − 12·3,521²/2 = 74,38 kN·m

Cevap

M_max = 74,38 kN·m

A’dan x = 3,521 m uzaklıkta oluşur.

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 2,006 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 240·10 = 2400 mm², y₁ = 5 mm

iki kol: A₂ = 2·10·70 = 1400 mm², y₂ = 10 + 70/2 = 45 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2400·5 + 1400·45)/3800 = 19,74 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 240·10³/12 + 2400·(5 − 19,74)² = 541219 mm⁴

iki kol: 2·10·70³/12 + 1400·(45 − 19,74)² = 1,465 × 10⁶ mm⁴

I_x = 541219 + 1,465 × 10⁶

I_x = 2,006 × 10⁶ mm⁴ = 2,006 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 2,006 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 55,14 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

gövde: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·247,5 + 3360·120)/7560 = 190,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 280·15³/12 + 4200·(247,5 − 190,8)² = 1,357 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·240³/12 + 3360·(120 − 190,8)² = 3,299 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,357 × 10⁷ + 3,299 × 10⁷ = 4,655 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 255 − 190,8 = 64,17 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·64,17/4,655 × 10⁷ = 55,14 MPa

Cevap

σ_üst = 55,14 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics