Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
a = (5, 0, −2) ve b = (−1, −2, 3) vektörlerinin skaler çarpımını a·b bulun.
a = (5, 0, −2)b = (−1, −2, 3)
a·b =
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
F = (−20, −40, 40) N kuvveti A(−3, 4, −1) noktasına etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin O(3, 0, −3) noktası noktasına göre momentinin x bileşenini Mx bulun.
F = (−20, −40, 40) NA(−3, 4, −1) mO(3, 0, −3) m
Mx = N·m
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 4 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.
AB = 4 mAC = 5 mP1 = 80 kN @ 2 mP2 = 70 kN @ 5 m
RB = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.
L = 10 mP = 40 kN @ 3 mw = 10 kN/m, 6 ile 8 m arasında
RA = kN
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.
açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 20 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.
açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 40 kNyatay yük = 5 kN ←
FAC = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 4,8 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor; tepe pimi C 2,4 m yüksekte, yatay DE bağı ise zeminden 0,6 m yukarıda. AC bacağına, A’dan (yatayda) 1,2 m uzaktaki K noktasında 8 kN’luk düşey bir yük etkiyor. Bağdaki çekme kuvvetini T bulun.
P = 8 kNAB = 4,8 mC’nin yüksekliği = 2,4 mDE’nin yüksekliği = 0,6 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 1,2 m
T = kN
8.Çerçeveler ve makinelerZor
Gösterilen çerçevenin A, B ve C’de pimleri var; A ve C birbirinden 8 m uzaktaki noktalarda zemine sabitlenmiştir, B ise 3 m yüksekte ve A’nın 4,8 m sağındadır. AB elemanı, A’dan (yatayda) 1,92 m uzaktaki K noktasında 10 kN’luk düşey bir yük ve AB elemanı üzerinde B’de sağa doğru 5 kN’luk yatay bir yük taşıyor. A’daki yatay tepkinin büyüklüğünü Ax bulun.
Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P1 tekil yükünü ve C’de P2 tekil yükünü taşır. P1 yükünün altındaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 5 mP1 = 75 kN @ 2 mP2 = 20 kN @ 5 mmesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında
Mx = kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.
15 kN @ 6 m50 kN @ 3 m5 kN/m, 0–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.
bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 30 MPa, basınçta 100 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti Mallow değerini bulun (büyüklüğünü verin).
Skaler çarpım:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ bir skalerdir. İki vektör arasındaki açıyı verir, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ve vektörler dik olduğunda sıfırdır. a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü a·b/|b|’dir ve d yer değiştirmesi boyunca hareket eden sabit bir F kuvveti W = F·d işi yapar.
Negatif: vektörler arasındaki açı 90°’den büyüktür.
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: Mx = 240 N·m
Vektörel çarpım:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) her iki vektöre de diktir ve |a × b| = |a|·|b|·sin θ, bu vektörlerin gerdiği paralelkenarın alanıdır (üçgen bunun yarısıdır). Sıra önemlidir: b × a = −(a × b). A noktasına uygulanan F kuvvetinin O noktasına göre momenti MO = r × F’dir; burada r = A − O.
O’dan A’ya konum vektörü
r = A − O = (−3, 4, −1) − (3, 0, −3) = (−6, 4, 2) m
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
A’ya göre momentler
Saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: RB·4 = 80·2 + 70·5
RB = 510/4 = 127,5 kN
Düşey denge
RA = 80 + 70 − 127,5 = 22,5 kN
Cevap
RB = 127,5 kN
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RA = 34 kN
Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.
Serbest cisim diyagramı
Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, x̄ = 7 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 40·3 + 10·2·7
RB = 260/10 = 26 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 26 = 34 kN
Cevap
RA = 34 kN
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: FAC = 8,75 kN
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·8 = 20·1 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 2,5 = 17,5 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 − 5·2 → Cy = 11,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 11,67 = 28,33 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
By = 8·1,2/4,8 = 2 kN
BC bacağı: C’ye göre momentler
2·2,4 = T·1,8
T = 2,667 kN
Cevap
T = 2,667 kN
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: Ax = 0,44 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
BC’nin doğrultusu
BC = 4,386 m, cos = 0,7295, sin = 0,6839
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
FBC·0,6839·8 = 10·1,92 + 5·3
FBC = 6,251 kN
Yatay denge
Ax + 5 − 6,251·0,7295 = 0
Ax = −0,44 kN → |Ax| = 0,44 kN
Cevap
Ax = 0,44 kN
Eksi işareti, Ax’in sola doğru olduğu anlamına gelir.
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = 65 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.
ΣMA = 0: RB·4 = 75·2 + 20·5
RB = 250/4 = 62,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 62,5 = 32,5 kN
P1 altından kesin ve sol parçayı tutun
Mx = RA·2 = 32,5·2 = 65 kN·m
Cevap
Mx = 65 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: E (x = 4 m)
En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.
Mesnet tepkileri
Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.
R1 = 15 kN, R2 = 70 kN
Her işaretteki eğilme momenti
Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.
MA = 0, MB = 12,5, MC = 20, MD = 22,5, ME = −30 kN·m, MF = −15, MG = 0
Cevap
İşaret E: ME = −30 kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 90,69 × 10⁶ mm⁴
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
gövde: Aw = 18·280 = 5040 mm², yw = 280/2 = 140 mm
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.