Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
Sabit bir F = (−30, 10, −15) N kuvveti, bir cisme A(−4, 3, 3) noktasından B(−5, 5, −5) noktasına doğrusal hareket ederken etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin yaptığı işi W bulun.
F = (−30, 10, −15) NA(−4, 3, 3) mB(−5, 5, −5) m
W = J
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
a = (−5, 5, 1) ve b = (6, −4, 6) için a × b vektörel çarpımının x bileşenini (a × b)x bulun.
a = (−5, 5, 1)b = (6, −4, 6)
(a × b)x =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.
L = 4 mP1 = 25 kN @ 1,5 mP2 = 50 kN @ 2 m
RB = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4,5 m uzaklıkta yatayla 50° açı yapan bir P yükü ve A’dan 2,5 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü RA değerini bulun.
L = 5 mP = 45 kN @ 4,5 m, θ = 50°Q = 25 kN @ 2,5 m
RA = kN
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.
açıklık = 5 myükseklik = 2 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 25 kN
FAB = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.
açıklık = 5 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 35 kNyatay yük = 15 kN →
FAC = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen çerçevenin A, B ve C’de pimleri var; A ve C birbirinden 6 m uzaktaki noktalarda zemine sabitlenmiştir, B ise zeminden 3 m yukarıda ve A’nın 2,7 m sağındadır. AB elemanına, A’dan (yatayda) 1,08 m uzaktaki K noktasında 12 kN’luk düşey bir yük etkiyor. BC elemanındaki kuvveti FBC bulun.
Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 2 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor. Bacaklar 3 m yüksekteki C pimi’nde buluşuyor ve 0,8 m yükseklikteki yatay DE çubuğuyla bağlanıyor. C’de sağa doğru 15 kN’luk yatay bir kuvvet etkiyor. Bağdaki çekme kuvvetini T bulun.
P = 15 kNAB = 2 mC’nin yüksekliği = 3 mDE’nin yüksekliği = 0,8 m
T = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
A mesnedinden x = 1,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 6 mw = 8 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 1,5 m
Mx = kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.
60 kN @ 0 m40 kN @ 12 m45 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
150 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 90 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.
b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
120 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 50 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 195 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.
b = 120 mmh = 300 mmkesik: 50 × 40 mmdelik merkezi: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Çözeltiler
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: W = 170 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Yer değiştirme
d = B − A = (−5, 5, −5) − (−4, 3, 3) = (−1, 2, −8) m
İş
W = F·d = (−30)·(−1) + 10·2 + (−15)·(−8) = 170 J
Cevap
W = 170 J
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: (a × b)x = 34
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektörel çarpım, bileşen bileşen
(a × b)x = aybz − azby = 5·6 − 1·(−4) = 34
(a × b)y = azbx − axbz = 1·6 − (−5)·6 = 36
(a × b)z = axby − aybx = (−5)·(−4) − 5·6 = −10
İstenen bileşen
(a × b)x = 34
Cevap
(a × b)x = 34
Kontrol: a × b her iki vektöre de diktir, bu yüzden a ve b ile skaler çarpımı sıfırdır.
3.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RB = 34,38 kN
Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.
Serbest cisim diyagramı
Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·4 = 25·1,5 + 50·2
RB = 137,5/4 = 34,38 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 34,38 = 40,63 kN
Cevap
RB = 34,38 kN
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RA = 33,03 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 15 = 10 kN
A düğümü
Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.
sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,5547 = −18,03 kN
Cevap
FAB = −18,03 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: FAC = 30 kN
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 35·2 + 15·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 20 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
İki kuvvet elemanı BC
BC = √(3,3² + 3²) = 4,46 m
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
Zemin, C’de BC’ye CB boyunca iter; yatay bileşeni A’dan geçer, yalnızca düşey bileşenin momenti vardır.
FBC·(3/4,46)·6 = 12·1,08
FBC = 3,211 kN (basınç)
Cevap
FBC = 3,211 kN
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: T = 10,23 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
By·2 = 15·3
By = 22,5 kN
BC bacağı: C’ye göre momentler
22,5·1 = T·2,2
T = 10,23 kN
Cevap
T = 10,23 kN
Pozitif bir T, varsayıldığı gibi bağın çekme altında olduğu anlamına gelir.
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = 27 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
x = 1,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun
Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.
M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 24·1,5 − 8·1,5·0,75 = 27 kN·m
Cevap
Mx = 27 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: E (x = 8 m)
En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.
Mesnet tepkileri
Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.
R1 = 119,3 kN, R2 = 97,67 kN
Her işaretteki eğilme momenti
Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.
MA = 0, MB = −120, MC = −25,33, MD = −68,67, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0
Cevap
İşaret E: ME = −160 kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 334,9 × 10⁶ mm⁴
Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.
Ağırlık merkezi
ȳ = (45000·150 − 706,9·90)/(45000 − 706,9) = 151 mm
Tam levha, ȳ’ye göre
150·300³/12 + 45000·−0,9575² = 337,5 × 10⁶ mm⁴
Delik, ȳ’ye göre
π·30⁴/64 + 706,9·−60,96² = 2,666 × 10⁶ mm⁴
Çıkarın
Ix = 334,9 × 10⁶ mm⁴
Cevap
Ix = 334,9 × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 265,4 × 10⁶ mm⁴
Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.
Ağırlık merkezi
ȳ = (36000·150 − 2000·195)/(36000 − 2000) = 147,4 mm