Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (4, 7, 7) ve b = (2, 7, 3) vektörlerinin skaler çarpımını a·b bulun.

a = (4, 7, 7)b = (2, 7, 3)

a·b =

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

n̂ birim vektörü hem a = (−4, 3, 3) hem de b = (3, −1, 3) vektörüne diktir ve pozitif z bileşenine sahiptir. Onun y bileşenini n̂_y bulun.

a = (−4, 3, 3)b = (3, −1, 3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 10 mP₁ = 15 kN @ 1 mP₂ = 20 kN @ 5 m

R_A = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 4,5 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 2,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 2,5 m konumundan 6 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_B değerini bulun.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 55 kN @ 2,5 mw = 2 kN/m, 2,5 ile 6 m arasında

R_B = kN

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

F: 20 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 15 kN ↓C: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ←

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12FC elemanı
13HC elemanı

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen dirsekli kol O pimi etrafında dönüyor. A’daki (120 mm O’dan) 200 N’luk düşey bir kuvvet, B’deki (O’nun 100 mm üzerinde) yatay bir kuvvetle dengeleniyor. Pim tepkisinin büyüklüğünü F_O bulun.

F = 200 NOA = 120 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Ağırlığı 2 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve ucu B’den duvardaki, A’nın 2,5 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 5 kN’luk bir yük asılıdır. Kablodaki çekme kuvvetini T bulun.

W = 5 kNW_b = 2 kNAB = 4 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 4 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 3 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 4 m

M_x = kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP = 25 kN @ 1 mw = 10 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 300 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 170 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 16 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b = 300 mmh = 170 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 140 × 10 mm üst başlığı, 360 mm yüksekliğinde ve 14 mm kalınlığında gövdesi ve 260 × 18 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 140 × 10 mmgövde: 14 × 360 mmalt başlık: 260 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: a·b = 78

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Karşılıklı bileşenleri çarpıp toplayın

a·b = 4·2 + 7·7 + 7·3 = 8 + 49 + 21 = 78

Cevap

a·b = 78

Pozitif: vektörler arasındaki açı 90°’den küçüktür.

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: n̂_y = −0,8503

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektörel çarpım

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·3 − 3·(−1) = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·3 − (−4)·3 = 21

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·(−1) − 3·3 = −5

Normalleştirin

a × b’nin z bileşeni negatiftir, bu yüzden −(a × b) kullanın.

|a × b| = √(12² + 21² + (−5)²) = 24,7

n̂ = −(12, 21, −5)/24,7 = (−0,4859, −0,8503, 0,2024)

n̂_y = −0,8503

Cevap

n̂_y = −0,8503

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 23,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·1 + 20·5

R_B = 115/10 = 11,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 11,5 = 23,5 kN

Cevap

R_A = 23,5 kN

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 37,17 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 55·2,5 + 7·4,25

R_B = 167,3/4,5 = 37,17 kN

R_A = 62 − 37,17 = 24,83 kN

Cevap

R_B = 37,17 kN

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 15 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 5 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 5 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 7,071 kN (C), BF: 5 kN (C), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 7,071 kN (T), DG: 7,071 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 5,417 kN (T), BC: 5,417 kN (T), CD: 12,92 kN (T), DE: 12,92 kN (T), FG: 60,83 kN (C), GH: 60,83 kN (C), AF: 50,52 kN (C), HE: 16,15 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 25,52 kN (T), HC: 16,15 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: F_O = 312,4 N

Makineler: penseler, kaldıraçlar, bağlantı sistemleri ve kıskaçlar bir giriş kuvvetini daha büyük ya da farklı yönlü bir çıkış kuvvetine çevirir. Bir parçayı serbest cisim olarak çizin ve dönme noktasına göre moment alın: pim kuvveti denklemden çıkar ve F_in·a = F_out·b mekanik kazancı a/b olarak verir. Pim kuvveti, aynı parça için ΣF = 0 denkleminden bulunur. Mafsallı bir mengenede iki bağlantı elemanı sığ bir θ açısıyla buluşur; her bağlantı elemanı bir iki kuvvet elemanıdır, bu yüzden bağlantı noktasındaki küçük bir F kuvveti büyük F/(2 sin θ) eleman kuvvetleri ve F/(2 tan θ) sıkma kuvveti oluşturur.

B’deki kuvvet

Q = 200·120/100 = 240 N

Pim tepkisi

O_x = 240 N, O_y = 200 N

F_O = √(240² + 200²) = 312,4 N

Cevap

F_O = 312,4 N

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: T = 11,32 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

Kablo açısı

BC = √(4² + 2,5²) = 4,717 m, sin β = 0,53

A’ya göre momentler

T·0,53·4 = 5·4 + 2·2

T = 11,32 kN

Cevap

T = 11,32 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 12 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

x = 4 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 9·4 − 3·4·2 = 12 kN·m

Cevap

M_x = 12 kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 45,83 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1 + 10·6·3

R_B = 205/6 = 34,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 34,17 = 50,83 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 50,83·1 − 10·1·0,5 = 45,83 kN·m

Cevap

M_x = 45,83 kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 27,41 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 300·16 = 4800 mm², y₁ = 8 mm

iki kol: A₂ = 2·16·154 = 4928 mm², y₂ = 16 + 154/2 = 93 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (4800·8 + 4928·93)/9728 = 51,06 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 300·16³/12 + 4800·(8 − 51,06)² = 9,002 × 10⁶ mm⁴

iki kol: 2·16·154³/12 + 4928·(93 − 51,06)² = 1,841 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,002 × 10⁶ + 1,841 × 10⁷

I_x = 2,741 × 10⁷ mm⁴ = 27,41 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 27,41 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 234,5 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1400 mm², y = 383 mm

gövde: A = 5040 mm², y = 198 mm

alt başlık: A = 4680 mm², y = 9 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1400·383 + 5040·198 + 4680·9)/11120 = 141,7 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 140·10³/12 + 1400·241,3² = 8,15 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·360³/12 + 5040·56,25² = 7,038 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 260·18³/12 + 4680·132,7² = 8,26 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,15 × 10⁷ + 7,038 × 10⁷ + 8,26 × 10⁷

I_x = 2,345 × 10⁸ mm⁴ = 234,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 234,5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics