Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (2, −3, 3) ve b = (−3, −3, k) vektörlerinin dik olduğu k değerini bulun.

a = (2, −3, 3)b = (−3, −3, k)

k =

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

n̂ birim vektörü hem a = (2, −4, 2) hem de b = (2, −5, −3) vektörüne diktir ve pozitif z bileşenine sahiptir. Onun x bileşenini n̂_x bulun.

a = (2, −4, 2)b = (2, −5, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da sıfırdan B’de 12 kN/m değerine doğrusal artan bir yük taşır. A’dan 9 m uzaklıkta bir P tekil yükü de etkir. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 10 mw₀ = 12 kN/mP = 50 kN @ 9 m

R_B = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 6 m uzaklıkta yatayla 50° açı yapan bir P yükü ve A’dan 9 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvveti ile yatay arasındaki açı α değerini bulun.

L = 10 mP = 35 kN @ 6 m, θ = 50°Q = 45 kN @ 9 m

α = °

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 2 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 10 kN

F_AB = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 10 kNyatay yük = 30 kN ←

F_BC = kN

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 4,8 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor; tepe pimi C 4 m yüksekte, yatay DE bağı ise zeminden 1,8 m yukarıda. AC bacağına, A’dan (yatayda) 1,44 m uzaktaki K noktasında 4 kN’luk düşey bir yük etkiyor. Bağdaki çekme kuvvetini T bulun.

P = 4 kNAB = 4,8 mC’nin yüksekliği = 4 mDE’nin yüksekliği = 1,8 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 1,44 m

T = kN

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 3,2 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor; tepe pimi C 2,5 m yüksekte, yatay DE bağı ise zeminden 1,2 m yukarıda. AC bacağına, A’dan (yatayda) 0,4 m uzaktaki K noktasında 4 kN’luk düşey bir yük etkiyor. C pimi’nin BC bacağına uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü C bulun.

P = 4 kNAB = 3,2 mC’nin yüksekliği = 2,5 mDE’nin yüksekliği = 1,2 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 0,4 m

C = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mw = 3 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 45 kN @ 2 mw = 6 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2 m

M_x = kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Simetrik bir I kesitin başlıkları 160 mm genişliğinde ve 18 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 220 mm ve gövdesi 8 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre atalet momenti I_x değerini bulun.

B = 160 mmH = 220 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 190 × 20 mm üst başlığı, 210 mm yüksekliğinde ve 16 mm kalınlığında gövdesi ve 230 × 18 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 190 × 20 mmgövde: 16 × 210 mmalt başlık: 230 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: k = −1

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaler çarpım sıfıra eşit

a·b = 2·(−3) + (−3)·(−3) + 3·k = 0

3 + 3·k = 0

k için çözün

k = −3/3 = −1

Cevap

k = −1

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: n̂_x = −0,9073

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektörel çarpım

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−3) − 2·(−5) = 22

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·2 − 2·(−3) = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−5) − (−4)·2 = −2

Normalleştirin

a × b’nin z bileşeni negatiftir, bu yüzden −(a × b) kullanın.

|a × b| = √(22² + 10² + (−2)²) = 24,25

n̂ = −(22, 10, −2)/24,25 = (−0,9073, −0,4124, 0,08248)

n̂_x = −0,9073

Cevap

n̂_x = −0,9073

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 85 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·12·10 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6,667 + 50·9

R_B = 85 kN

R_A = 110 − 85 = 25 kN

Cevap

R_B = 85 kN

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: α = 34,09 °

P’nin bileşenleri

P_v = 35·sin 50° = 26,81 kN

P_h = 35·cos 50° = 22,5 kN

Tepkiler

ΣM_A = 0: R_B·10 = 26,81·6 + 45·9 → R_B = 56,59 kN

A_y = 26,81 + 45 − 56,59 = 15,22 kN

A_x = P_h = 22,5 kN

A’daki yön

α = atan(A_y/A_x) = atan(15,22/22,5) = 34,09°

Cevap

α = 34,09°

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −4,507 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 7,5 = 2,5 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,5547 = −4,507 kN

Cevap

F_AB = −4,507 kN (basınç)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = 28,28 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 − 30·3 → C_y = −20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −20 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−20/0,7071 = 28,28 kN

Cevap

F_BC = 28,28 kN (çekme)

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: T = 1,309 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

Tüm çerçeve: A’ya göre momentler

B_y = 4·1,44/4,8 = 1,2 kN

BC bacağı: C’ye göre momentler

1,2·2,4 = T·2,2

T = 1,309 kN

Cevap

T = 1,309 kN

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: C = 0,7929 kN

B’deki mesnet tepkisi

B_y = 4·0,4/3,2 = 0,5 kN

Bağ kuvveti

T = 0,5·1,6/1,3 = 0,6154 kN

BC üzerindeki pim kuvveti

C_x = 0,6154 kN, C_y = −0,5 kN

C = √(0,6154² + 0,5²) = 0,7929 kN

Cevap

C = 0,7929 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 20,63 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 12·2,5 − 3·2,5·1,25 = 20,63 kN·m

Cevap

M_x = 20,63 kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 57 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 6·4·2

R_B = 138/4 = 34,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 34,5 = 34,5 kN

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 34,5·2 − 6·2·1 = 57 kN·m

Cevap

M_x = 57 kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 220 − 2·18 = 184 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·220³ − 152·184³)/12

I_x = 6,307 × 10⁷ mm⁴ = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 116,5 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 3800 mm², y = 238 mm

gövde: A = 3360 mm², y = 123 mm

alt başlık: A = 4140 mm², y = 9 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (3800·238 + 3360·123 + 4140·9)/11300 = 119,9 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 190·20³/12 + 3800·118,1² = 5,312 × 10⁷ mm⁴

gövde: 16·210³/12 + 3360·3,094² = 1,238 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 230·18³/12 + 4140·110,9² = 5,103 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,312 × 10⁷ + 1,238 × 10⁷ + 5,103 × 10⁷

I_x = 1,165 × 10⁸ mm⁴ = 116,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 116,5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics