Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (−5, 2, −1) vektörünün b = (6, 0, −5) vektörü üzerindeki skaler izdüşümünü comp_b a bulun, yani a vektörünün b doğrultusundaki bileşenini.

a = (−5, 2, −1)b = (6, 0, −5)

comp_b a =

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

a = (5, 2, −6) ve b = (4, 2, −3) vektörlerinin gerdiği paralelkenarın alanını A bulun.

a = (5, 2, −6)b = (4, 2, −3)

A =

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvardan 6 m uzaklığa kadar düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 8 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki düşey tepki R_A değerini bulun.

L = 10 mP = 35 kN @ 8 mw = 2 kN/m, 0 ile 6 m arasında

R_A = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 4 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 8 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 7 m uzaklıkta bir P tekil yükü. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

AC = 4 mAD = 8 mP = 65 kN @ 7 m

M_A = kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 4 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 55 kN

F_AB = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 30 kN ↓F: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 35 kN ←

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12FC elemanı
13HC elemanı

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen mafsallı sıkıştırma mengenesinde, eşit AB ve BC bağlantı elemanları B’de birbirine pimlenmiştir ve her biri AC doğrusuyla 30° yapar. B’ye 150 N’luk aşağı yönlü bir kuvvet uygulanır. C kızağı bir iş parçasına bastırır. Sürtünmeyi ve ağırlıkları yok sayarak yatay sıkma kuvvetini Q bulun.

F = 150 Nθ = 30°

Q = N

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Ağırlığı 2 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve B’den duvardaki, A’nın 3 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 15 kN’luk bir yük asılıdır. Pim tepkisinin büyüklüğünü A bulun.

W = 15 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 3 m

A = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 12 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 7 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mP = 50 kN @ 2 mw = 10 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 7 m

M_x = kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 20 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_üst = MPa

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: comp_b a = −3,201

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaler çarpım

a·b = (−5)·6 + 2·0 + (−1)·(−5) = −25

b’nin uzunluğu

|b| = √(6² + 0² + (−5)²) = 7,81

Skaler izdüşüm

comp_b a = a·b/|b| = −25/7,81 = −3,201

Cevap

comp_b a = −3,201

Negatif: a’nın b’ye ters yönde bir bileşeni vardır.

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: A = 11

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektörel çarpım

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−3) − (−6)·2 = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·4 − 5·(−3) = −9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·2 − 2·4 = 2

Alan

A = |a × b| = √(6² + (−9)² + 2²) = 11

Cevap

A = 11

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 47 kN

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir R_A tepkisi ve bir M_A tepki momenti verir. ΣF_y = 0, R_A’yı; duvara göre momentler M_A = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m

Düşey denge

R_A = P + W = 35 + 12 = 47 kN

Cevap

R_A = 47 kN

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 65 kN·m

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 65·3

R_D = 48,75 kN

V_C = 65 − 48,75 = 16,25 kN

AC kısmı

Mafsal kuvveti V_C, AC üzerinde aşağı doğru etkir (CD üzerindeki etkisine eşit ve zıt).

R_A = 16,25 = 16,25 kN

M_A = 16,25·4 = 65 kN·m

Cevap

M_A = 65 kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −42,52 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −41,25/0,9701 = −42,52 kN

Cevap

F_AB = −42,52 kN (basınç)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 43,75 kN (T), BC: 43,75 kN (T), CD: 21,25 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 98,44 kN (C), HE: 26,56 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 1,563 kN (C), HC: 26,56 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: Q = 129,9 N

Makineler: penseler, kaldıraçlar, bağlantı sistemleri ve kıskaçlar bir giriş kuvvetini daha büyük ya da farklı yönlü bir çıkış kuvvetine çevirir. Bir parçayı serbest cisim olarak çizin ve dönme noktasına göre moment alın: pim kuvveti denklemden çıkar ve F_in·a = F_out·b mekanik kazancı a/b olarak verir. Pim kuvveti, aynı parça için ΣF = 0 denkleminden bulunur. Mafsallı bir mengenede iki bağlantı elemanı sığ bir θ açısıyla buluşur; her bağlantı elemanı bir iki kuvvet elemanıdır, bu yüzden bağlantı noktasındaki küçük bir F kuvveti büyük F/(2 sin θ) eleman kuvvetleri ve F/(2 tan θ) sıkma kuvveti oluşturur.

B pimi dengesi

2·F_link·sin 30° = 150

F_link = 150 N

Sıkma kuvveti

Q = F_link·cos 30° = 150/(2·tan 30°) = 129,9 N

Cevap

Q = 129,9 N

Bağlantı elemanları düzleştikçe Q/F = 0,866 kuvvet oranı sınırsız büyür.

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: A = 10,71 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

Kablodaki çekme kuvveti

T = (15 + 2/2)/0,8321 = 19,23 kN

A’daki bileşenler

A_x = T·cos β = 10,67 kN

A_y = 15 + 2 − T·sin β = 1 kN

Büyüklük

A = √(10,67² + 1²) = 10,71 kN

Cevap

A = 10,71 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 22,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 24·2,5 − 12·2,5·1,25 = 22,5 kN·m

Cevap

M_x = 22,5 kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 47,5 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 10·8·4

R_B = 420/8 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 52,5 = 77,5 kN

x = 7 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 77,5·7 − 50·(7 − 2) − 10·7·3,5 = 47,5 kN·m

Cevap

M_x = 47,5 kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 104,3 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

gövde: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·315 + 4200·150)/11400 = 254,2 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 240·30³/12 + 7200·(315 − 254,2)² = 2,715 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·300³/12 + 4200·(150 − 254,2)² = 7,711 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,715 × 10⁷ + 7,711 × 10⁷ = 1,043 × 10⁸ mm⁴ = 104,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 104,3 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 123,5 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

gövde: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·145 + 2800·70)/4000 = 92,5 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·10³/12 + 1200·(145 − 92,5)² = 3,317 × 10⁶ mm⁴

gövde: 20·140³/12 + 2800·(70 − 92,5)² = 5,991 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,317 × 10⁶ + 5,991 × 10⁶ = 9,308 × 10⁶ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 150 − 92,5 = 57,5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·57,5/9,308 × 10⁶ = 123,5 MPa

Cevap

σ_üst = 123,5 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics