Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (−5, −5, 0) vektörünün b = (6, −5, −4) vektörü üzerindeki skaler izdüşümünü comp_b a bulun, yani a vektörünün b doğrultusundaki bileşenini.

a = (−5, −5, 0)b = (6, −5, −4)

comp_b a =

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

a = (0, 2, −4) ve b = (−1, 2, −1) vektörlerinin gerdiği paralelkenarın alanını A bulun.

a = (0, 2, −4)b = (−1, 2, −1)

A =

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da 4 kN/m değerinden B’de sıfıra doğrusal azalan bir yük taşır. A’dan 5,5 m uzaklıkta bir P tekil yükü de etkir. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 50 kN @ 5,5 m

R_A = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 3 m uzaklıkta yatayla 30° açı yapan bir P yükü ve A’dan 4,5 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü R_A değerini bulun.

L = 5 mP = 30 kN @ 3 m, θ = 30°Q = 80 kN @ 4,5 m

R_A = kN

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 4 m uzaktadüşey yük = 30 kN

F_AC = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 25 kNyatay yük = 15 kN →

F_AC = kN

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen çerçevenin A, B ve C’de pimleri var; A ve C birbirinden 5 m uzaktaki noktalarda zemine sabitlenmiştir, B ise zeminden 4 m yukarıda ve A’nın 2,25 m sağındadır. AB elemanına, A’dan (yatayda) 0,9 m uzaktaki K noktasında 8 kN’luk düşey bir yük etkiyor. BC elemanındaki kuvveti F_BC bulun.

P = 8 kNL = 5 mH = 4 mA’dan B’ye yatay uzaklık = 2,25 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 0,9 m

F_BC = kN

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Gösterilen duvar konsolunun AB kirişi A’da pimlenmiştir ve CD payandasıyla desteklenmiştir (C, A’nın 1,5 m altındadır). Kiriş tüm uzunluğu boyunca 4 kN/m düzgün yayılı yük ve serbest ucu B’de 5 kN’luk bir tekil yük taşır. Payandadaki kuvveti F_CD bulun.

w = 4 kN/mP = 5 kNAD = 1,2 mAB = 2,5 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. B mesnedinin hemen solundaki kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6,5 mP₁ = 30 kN @ 2 mP₂ = 50 kN @ 6,5 mmesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında

V_x = kN

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mP = 50 kN @ 3 mw = 6 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 5 m

M_x = kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 220 mm ve iç çapı d = 204 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 220 mmd = 204 mm

r = mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 180 × 16 mm üst başlığı, 260 mm yüksekliğinde ve 16 mm kalınlığında gövdesi ve 290 × 24 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 180 × 16 mmgövde: 16 × 260 mmalt başlık: 290 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: comp_b a = −0,5698

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaler çarpım

a·b = (−5)·6 + (−5)·(−5) + 0·(−4) = −5

b’nin uzunluğu

|b| = √(6² + (−5)² + (−4)²) = 8,775

Skaler izdüşüm

comp_b a = a·b/|b| = −5/8,775 = −0,5698

Cevap

comp_b a = −0,5698

Negatif: a’nın b’ye ters yönde bir bileşeni vardır.

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: A = 7,483

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektörel çarpım

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−1) − (−4)·2 = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−1) − 0·(−1) = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·2 − 2·(−1) = 2

Alan

A = |a × b| = √(6² + 4² + 2²) = 7,483

Cevap

A = 7,483

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 12,17 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2 + 50·5,5

R_B = 49,83 kN

R_A = 62 − 49,83 = 12,17 kN

Cevap

R_A = 12,17 kN

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 29,51 kN

P’nin bileşenleri

P_v = 30·sin 30° = 15 kN

P_h = 30·cos 30° = 25,98 kN

Tepkiler

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3 + 80·4,5 → R_B = 81 kN

A_y = 15 + 80 − 81 = 14 kN

A_x = P_h = 25,98 kN

A’daki bileşke

R_A = √(25,98² + 14²) = 29,51 kN

Cevap

R_A = 29,51 kN

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 8 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·4 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 24 = 6 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0,9487 = −25,3 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25,3)·0,3162 = 8 kN

Cevap

F_AC = 8 kN (çekme)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 19,44 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·1 + 15·3 → C_y = 11,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 11,67 = 13,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,67/0,5145 = −22,68 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,68)·0,8575 = 19,44 kN

Cevap

F_AC = 19,44 kN (çekme)

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: F_BC = 1,747 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

İki kuvvet elemanı BC

BC = √(2,75² + 4²) = 4,854 m

Tüm çerçeve: A’ya göre momentler

Zemin, C’de BC’ye CB boyunca iter; yatay bileşeni A’dan geçer, yalnızca düşey bileşenin momenti vardır.

F_BC·(4/4,854)·5 = 8·0,9

F_BC = 1,747 kN (basınç)

Cevap

F_BC = 1,747 kN

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: F_CD = 26,68 kN

Düzgün yükün bileşkesi

w·L = 4·2,5 = 10 kN @ 1,25 m

Kiriş için A’ya göre momentler

F_CD·0,7809·1,2 = 10·1,25 + 5·2,5 = 25 kN·m

F_CD = 26,68 kN

Cevap

F_CD = 26,68 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = −27 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 50·6,5

R_B = 385/5 = 77 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 77 = 3 kN

B’nin hemen solundan kesin ve sol parçayı tutun

V_x = R_A − P₁ = 3 − 30 = −27 kN

Cevap

V_x = −27 kN

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 101,3 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·3 + 6·8·4

R_B = 342/8 = 42,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 42,75 = 55,25 kN

x = 5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 55,25·5 − 50·(5 − 3) − 6·5·2,5 = 101,3 kN·m

Cevap

M_x = 101,3 kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 75,01 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 5328 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,998 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(2,998 × 10⁷/5328) = 75,01 mm

Cevap

r = 75,01 mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 194,1 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 2880 mm², y = 292 mm

gövde: A = 4160 mm², y = 154 mm

alt başlık: A = 6960 mm², y = 12 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (2880·292 + 4160·154 + 6960·12)/14000 = 111,8 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 180·16³/12 + 2880·180,2² = 9,359 × 10⁷ mm⁴

gövde: 16·260³/12 + 4160·42,21² = 3,084 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 290·24³/12 + 6960·99,79² = 6,965 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,359 × 10⁷ + 3,084 × 10⁷ + 6,965 × 10⁷

I_x = 1,941 × 10⁸ mm⁴ = 194,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 194,1 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics