Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
a = (3, −4, −7) vektörünün b = (5, 1, 4) vektörü üzerindeki skaler izdüşümünü compb a bulun, yani a vektörünün b doğrultusundaki bileşenini.
a = (3, −4, −7)b = (5, 1, 4)
compb a =
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
a = (3, −2, 4) ve b = (0, −5, 4) için a × b vektörel çarpımının y bileşenini (a × b)y bulun.
a = (3, −2, 4)b = (0, −5, 4)
(a × b)y =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da 4 kN/m değerinden B’de sıfıra doğrusal azalan bir yük taşır. A’dan 2 m uzaklıkta bir P tekil yükü de etkir. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.
L = 4 mw0 = 4 kN/mP = 20 kN @ 2 m
RB = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 3 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 2,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 3 m konumundan 5 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.
AB = 3 mAC = 5 mP = 80 kN @ 2,5 mw = 6 kN/m, 3 ile 5 m arasında
açıklık = 6 myükseklik = 4 mB, A’dan 4 m uzaktadüşey yük = 10 kN
FBC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.
açıklık = 8 myükseklik = 3 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 10 kNyatay yük = 25 kN →
FAB = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Yatay bir AB kirişi A’da duvara pimlenmiştir ve A’nın 1,5 m altında C’de duvara pimlenmiş CD payandasıyla desteklenmiştir. B’de 6 kN’luk bir yük asılıdır. Ağırlıkları yok sayın. Kirişe A’da etkiyen pim kuvvetinin büyüklüğünü A bulun.
P = 6 kNAD = 1,2 mAB = 2,4 mAC = 1,5 m
A = kN
8.Çerçeveler ve makinelerZor
Ağırlığı 1 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve ucu B’den duvardaki, A’nın 1,5 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 2 kN’luk bir yük asılıdır. Kablodaki çekme kuvvetini T bulun.
W = 2 kNWb = 1 kNAB = 4 mAC = 1,5 m
T = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.
L = 8 mP1 = 45 kN @ 1 mP2 = 80 kN @ 5 m
Mmax = kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
A mesnedinden x = 4 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 5 mP = 30 kN @ 4 mw = 2 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 4 m
Mx = kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.
bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 30 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σüst değerinin büyüklüğünü bulun.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaler çarpım
a·b = 3·5 + (−4)·1 + (−7)·4 = −17
b’nin uzunluğu
|b| = √(5² + 1² + 4²) = 6,481
Skaler izdüşüm
compb a = a·b/|b| = −17/6,481 = −2,623
Cevap
compb a = −2,623
Negatif: a’nın b’ye ters yönde bir bileşeni vardır.
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: (a × b)y = −12
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektörel çarpım, bileşen bileşen
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·4 − 4·(−5) = 12
(a × b)y = azbx − axbz = 4·0 − 3·4 = −12
(a × b)z = axby − aybx = 3·(−5) − (−2)·0 = −15
İstenen bileşen
(a × b)y = −12
Cevap
(a × b)y = −12
Kontrol: a × b her iki vektöre de diktir, bu yüzden a ve b ile skaler çarpımı sıfırdır.
3.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RB = 12,67 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
Üçgen yükün bileşkesi
W = ½·4·4 = 8 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·4 = 8·1,333 + 20·2
RB = 12,67 kN
RA = 28 − 12,67 = 15,33 kN
Cevap
RB = 12,67 kN
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RB = 82,67 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
Yayılı yükün bileşkesi
W = 6·2 = 12 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·3 = 80·2,5 + 12·4
RB = 248/3 = 82,67 kN
RA = 92 − 82,67 = 9,333 kN
Cevap
RB = 82,67 kN
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: FBC = −7,454 kN
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·4 → Cy = 6,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 6,667 = 3,333 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·5 + 25·3 → Cy = 15,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 15,63 = −5,625 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
A düğümü
Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.
sin α = 3/5,831 = 0,5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−5,625/0,5145 = 10,93 kN
Cevap
FAB = 10,93 kN (çekme)
7.Çerçeveler ve makineler
Cevap: A = 11,32 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Payanda kuvveti
FCD = 6·2,4/(0,7809·1,2) = 15,37 kN
A’daki bileşenler
Ax = FCD·cos α = 9,6 kN (duvara doğru)
Ay = 6 − FCD·sin α = −6 kN
Büyüklük
A = √(9,6² + −6²) = 11,32 kN
Cevap
A = 11,32 kN
Negatif bir Ay, duvarın kirişi A’da aşağı çektiği anlamına gelir.
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: T = 7,12 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Kablo açısı
BC = √(4² + 1,5²) = 4,272 m, sin β = 0,3511
A’ya göre momentler
T·0,3511·4 = 2·4 + 1·2
T = 7,12 kN
Cevap
T = 7,12 kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mmax = 166,9 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
ΣMA = 0: RB·8 = 45·1 + 80·5
RB = 445/8 = 55,63 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 55,63 = 69,38 kN
Her yükün altındaki moment
Her yükün solundaki parçayı tutun.
yük altında P1: M = RA·1 = 69,38·1 = 69,38 kN·m
yük altında P2: M = RB·3 = 55,63·3 = 166,9 kN·m
En büyük değer
Mmax = 166,9 kN·m (yük altında P2)
Cevap
Mmax = 166,9 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = 28 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 30·4 + 2·5·2,5
RB = 145/5 = 29 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 29 = 11 kN
x = 4 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun
Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.
M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 11·4 − 2·4·2 = 28 kN·m
Cevap
Mx = 28 kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 65,14 × 10⁶ mm⁴
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 240·25 = 6000 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm
gövde: Aw = 18·240 = 4320 mm², yw = 240/2 = 120 mm
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm