Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
a = (0, −2, −2) vektörünün b = (−1, 2, −3) vektörü üzerindeki skaler izdüşümünü compb a bulun, yani a vektörünün b doğrultusundaki bileşenini.
a = (0, −2, −2)b = (−1, 2, −3)
compb a =
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
Bir köşeden çıkan kenarları a = (1, 1, −3), b = (0, 4, −2) ve c = (4, 2, 3) olan paralelyüzlünün hacmini V bulun.
a = (1, 1, −3)b = (0, 4, −2)c = (4, 2, 3)
V =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.
L = 4 mP1 = 25 kN @ 2,5 mP2 = 30 kN @ 3 m
RA = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 4 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 8 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 5 m uzaklıkta bir P tekil yükü, tüm CD kısmında düzgün yayılı w yükü ve A’dan 3 m uzaklıkta bir Q tekil yükü. Kayıcı mesnetteki tepki RD değerini bulun.
AC = 4 mAD = 8 mP = 25 kN @ 5 mw = 4 kN/m, 4 ile 8 m arasındaQ = 60 kN @ 3 m
RD = kN
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.
açıklık = 4 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 20 kN
açıklık = 4 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 20 kNyatay yük = 25 kN →
FBC = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen çerçevenin A, B ve C’de pimleri var; A ve C birbirinden 4 m uzaktaki noktalarda zemine sabitlenmiştir, B ise zeminden 2 m yukarıda ve A’nın 2,4 m sağındadır. AB elemanına, A’dan (yatayda) 0,6 m uzaktaki K noktasında 20 kN’luk düşey bir yük etkiyor. BC elemanındaki kuvveti FBC bulun.
Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 6 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor. Bacaklar 4 m yüksekteki C pimi’nde buluşuyor ve 2 m yükseklikteki yatay DE çubuğuyla bağlanıyor. C’de sağa doğru 5 kN’luk yatay bir kuvvet etkiyor. Bağdaki çekme kuvvetini T bulun.
P = 5 kNAB = 6 mC’nin yüksekliği = 4 mDE’nin yüksekliği = 2 m
T = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 2 m uzaklıkta saat yönünde M0 = 25 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen solundaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 6 mM0 = 25 kN·m saat yönünde, konumu 2 m
Mx = kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
A mesnedinden x = 6,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 8 mP = 15 kN @ 3 mw = 8 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 6,5 m
Mx = kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.
bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
100 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 30 mm genişliğinde ve 30 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 105 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.
b = 100 mmh = 150 mmkesik: 30 × 30 mmdelik merkezi: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Çözeltiler
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: compb a = 0,5345
Skaler çarpım:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ bir skalerdir. İki vektör arasındaki açıyı verir, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ve vektörler dik olduğunda sıfırdır. a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü a·b/|b|’dir ve d yer değiştirmesi boyunca hareket eden sabit bir F kuvveti W = F·d işi yapar.
Skaler çarpım
a·b = 0·(−1) + (−2)·2 + (−2)·(−3) = 2
b’nin uzunluğu
|b| = √((−1)² + 2² + (−3)²) = 3,742
Skaler izdüşüm
compb a = a·b/|b| = 2/3,742 = 0,5345
Cevap
compb a = 0,5345
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: V = 56
Vektörel çarpım:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) her iki vektöre de diktir ve |a × b| = |a|·|b|·sin θ, bu vektörlerin gerdiği paralelkenarın alanıdır (üçgen bunun yarısıdır). Sıra önemlidir: b × a = −(a × b). A noktasına uygulanan F kuvvetinin O noktasına göre momenti MO = r × F’dir; burada r = A − O.
Vektörel çarpım b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 4·3 − (−2)·2 = 16
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−2)·4 − 0·3 = −8
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·2 − 4·4 = −16
a ile skaler çarpım
a·(b × c) = 1·16 + 1·(−8) + (−3)·(−16) = 56
V = |56| = 56
Cevap
V = 56
3.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RA = 16,88 kN
Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.
Serbest cisim diyagramı
Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2,5 + 30·3
RB = 152,5/4 = 38,13 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 38,13 = 16,88 kN
Cevap
RA = 16,88 kN
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RD = 14,25 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.
CD kısmı
Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.
W = 4·4 = 16 kN @ 2 m referans: C
ΣMC = 0: RD·4 = 25·1 + 16·2
RD = 14,25 kN
VC = 41 − 14,25 = 26,75 kN
Cevap
RD = 14,25 kN
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: FAC = 7,5 kN
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 + 25·2 → Cy = 17,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 17,5 = 2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
İki kuvvet elemanı BC
BC = √(1,6² + 2²) = 2,561 m
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
Zemin, C’de BC’ye CB boyunca iter; yatay bileşeni A’dan geçer, yalnızca düşey bileşenin momenti vardır.
FBC·(2/2,561)·4 = 20·0,6
FBC = 3,842 kN (basınç)
Cevap
FBC = 3,842 kN
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: T = 5 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
By·6 = 5·4
By = 3,333 kN
BC bacağı: C’ye göre momentler
3,333·3 = T·2
T = 5 kN
Cevap
T = 5 kN
Pozitif bir T, varsayıldığı gibi bağın çekme altında olduğu anlamına gelir.
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = −8,333 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.
Mesnet tepkileri
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: RB·L − M0 = 0. Düşey denge: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 25/6 = 4,167 kN (yukarı)
RA = −RB = −4,167 kN (aşağı)
Kuvvet çiftinin hemen solundan kesin
Sol parça yalnızca RA’yı içerir.
Mx = RA·a = −4,167·2 = −8,333 kN·m
Cevap
Mx = −8,333 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = 47,44 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 15·3 + 8·8·4
RB = 301/8 = 37,63 kN
ΣFy = 0: RA = 79 − 37,63 = 41,38 kN
x = 6,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun
Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.
M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 100 + 25/2 = 112,5 mm
Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.