Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (−2, −5, 5) ve b = (4, k, −2) vektörlerinin dik olduğu k değerini bulun.

a = (−2, −5, 5)b = (4, k, −2)

k =

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

Bir köşeden çıkan kenarları a = (−1, 2, −5), b = (−4, −3, 2) ve c = (4, 0, −4) olan paralelyüzlünün hacmini V bulun.

a = (−1, 2, −5)b = (−4, −3, 2)c = (4, 0, −4)

V =

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 4,5 m uzaklıkta saat yönünün tersine dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_B değerini bulun.

L = 6 mP = 15 kN @ 5 mM = 15 kN·m (saat yönünün tersine) @ 4,5 m

R_B = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 6 mP = 35 kN @ 3 mw = 3 kN/m, 1 ile 5 m arasında

R_B = kN

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 10 kN

F_BC = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 4 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 60 kNyatay yük = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 3 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor. Bacaklar 2 m yüksekteki C pimi’nde buluşuyor ve yatay DE bağı zeminden 0,6 m yukarıda. C’de 6 kN’luk bir yük etkiyor. C pimi’nin BC bacağına uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü C bulun.

P = 6 kNAB = 3 mC’nin yüksekliği = 2 mDE’nin yüksekliği = 0,6 m

C = kN

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 5 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor. Bacaklar 2 m yüksekteki C pimi’nde buluşuyor ve 0,6 m yükseklikteki yatay DE çubuğuyla bağlanıyor. C’de sağa doğru 15 kN’luk yatay bir kuvvet etkiyor. Bağdaki çekme kuvvetini T bulun.

P = 15 kNAB = 5 mC’nin yüksekliği = 2 mDE’nin yüksekliği = 0,6 m

T = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 3,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti M_A değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 75 kN @ 3,5 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasında

M_A = kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 8 mP = 20 kN @ 7 mw = 4 kN/m, 0 ile 8 m arasında

M_max = kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 140 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 200 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 8 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b = 140 mmh = 200 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 120 × 10 mm üst başlığı, 320 mm yüksekliğinde ve 12 mm kalınlığında gövdesi ve 300 × 12 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 120 × 10 mmgövde: 12 × 320 mmalt başlık: 300 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: k = −3,6

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaler çarpım sıfıra eşit

a·b = (−2)·4 + (−5)·k + 5·(−2) = 0

−18 + (−5)·k = 0

k için çözün

k = −(−18)/(−5) = −3,6

Cevap

k = −3,6

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: V = 88

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektörel çarpım b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−3)·(−4) − 2·0 = 12

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·4 − (−4)·(−4) = −8

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−4)·0 − (−3)·4 = 12

a ile skaler çarpım

a·(b × c) = (−1)·12 + 2·(−8) + (−5)·12 = −88

V = |−88| = 88

Cevap

V = 88

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 10 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 15·5 + 15 = 0

R_B = 60/6 = 10 kN

Düşey denge

R_A = 15 − 10 = 5 kN

Cevap

R_B = 10 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 23,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3 + 3·4·3

R_B = 141/6 = 23,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 23,5 = 23,5 kN

Cevap

R_B = 23,5 kN

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −9,317 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·5 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 8,333 = 1,667 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,8944 = −9,317 kN

Cevap

F_BC = −9,317 kN (basınç)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −74,22 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 − 30·4 → C_y = −12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − −12 = 72 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −72/0,9701 = −74,22 kN

Cevap

F_AB = −74,22 kN (basınç)

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: C = 4,397 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

BC bacağından bağ kuvveti

B_y = 3 kN

T = 3·1,5/1,4 = 3,214 kN

BC üzerindeki pim kuvvetinin bileşenleri

C_x = T = 3,214 kN, C_y = −B_y = −3 kN

Büyüklük

C = √(3,214² + 3²) = 4,397 kN

Cevap

C = 4,397 kN

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: T = 10,71 kN

Tüm çerçeve: A’ya göre momentler

B_y·5 = 15·2

B_y = 6 kN

BC bacağı: C’ye göre momentler

6·2,5 = T·1,4

T = 10,71 kN

Cevap

T = 10,71 kN

Pozitif bir T, varsayıldığı gibi bağın çekme altında olduğu anlamına gelir.

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_A = −286,5 kN·m

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −75·3,5 = −262,5 kN·m

w: −3·4²/2 = −24 kN·m

M_A = −262,5 − 24 = −286,5 kN·m

Cevap

M_A = −286,5 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 42,78 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·7 + 4·8·4

R_B = 268/8 = 33,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 33,5 = 18,5 kN

V = 0 nerede?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18,5/4 = 4,625 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 18,5·4,625 − 4·4,625²/2 = 42,78 kN·m

Cevap

M_max = 42,78 kN·m

A’dan x = 4,625 m uzaklıkta oluşur.

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 17,65 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 140·8 = 1120 mm², y₁ = 4 mm

iki kol: A₂ = 2·8·192 = 3072 mm², y₂ = 8 + 192/2 = 104 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1120·4 + 3072·104)/4192 = 77,28 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 140·8³/12 + 1120·(4 − 77,28)² = 6,021 × 10⁶ mm⁴

iki kol: 2·8·192³/12 + 3072·(104 − 77,28)² = 1,163 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,021 × 10⁶ + 1,163 × 10⁷

I_x = 1,765 × 10⁷ mm⁴ = 17,65 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 17,65 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 146,2 × 10⁶ mm⁴

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 1200 mm², y = 337 mm

gövde: A = 3840 mm², y = 172 mm

alt başlık: A = 3600 mm², y = 6 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (1200·337 + 3840·172 + 3600·6)/8640 = 125,8 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 120·10³/12 + 1200·211,3² = 5,356 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·320³/12 + 3840·46,25² = 4,098 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 300·12³/12 + 3600·119,8² = 5,167 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,356 × 10⁷ + 4,098 × 10⁷ + 5,167 × 10⁷

I_x = 1,462 × 10⁸ mm⁴ = 146,2 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 146,2 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics