Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
a = (7, 7, 3) ve b = (−2, 2, −7) vektörlerinin skaler çarpımını a·b bulun.
a = (7, 7, 3)b = (−2, 2, −7)
a·b =
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
a = (5, 2, −4) ve b = (−5, 5, −4) vektörlerinin gerdiği paralelkenarın alanını A bulun.
a = (5, 2, −4)b = (−5, 5, −4)
A =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki düşey tepki RA değerini bulun.
L = 6 mP = 10 kN @ 3 mw = 12 kN/m, 0 ile 6 m arasında
RA = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.
L = 10 mP = 20 kN @ 9 mw = 8 kN/m, 2 ile 4 m arasında
RB = kN
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.
açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 4 m uzaktadüşey yük = 55 kNyatay yük = 15 kN ←
FBC = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 6 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor; tepe pimi C 3 m yüksekte, yatay DE bağı ise zeminden 1,5 m yukarıda. AC bacağına, A’dan (yatayda) 2,25 m uzaktaki K noktasında 12 kN’luk düşey bir yük etkiyor. Bağdaki çekme kuvvetini T bulun.
P = 12 kNAB = 6 mC’nin yüksekliği = 3 mDE’nin yüksekliği = 1,5 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 2,25 m
T = kN
8.Çerçeveler ve makinelerZor
Ağırlığı 3 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve ucu B’den duvardaki, A’nın 2,5 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 12 kN’luk bir yük asılıdır. Kablodaki çekme kuvvetini T bulun.
W = 12 kNWb = 3 kNAB = 2 mAC = 2,5 m
T = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P1 tekil yükünü ve C’de P2 tekil yükünü taşır. P1 yükünün altındaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 5 mP1 = 55 kN @ 2 mP2 = 20 kN @ 5 mmesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında
Mx = kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. A’dan eğilme momentinin en büyük olduğu kesite olan uzaklık x0 değerini bulun.
L = 10 mw = 16 kN/m, 2 ile 8 m arasında
x0 = m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.
bf = 300 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 30 MPa, basınçta 120 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti Mallow değerini bulun (büyüklüğünü verin).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Negatif: vektörler arasındaki açı 90°’den büyüktür.
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: A = 54,49
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektörel çarpım
(a × b)x = aybz − azby = 2·(−4) − (−4)·5 = 12
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·(−5) − 5·(−4) = 40
(a × b)z = axby − aybx = 5·5 − 2·(−5) = 35
Alan
A = |a × b| = √(12² + 40² + 35²) = 54,49
Cevap
A = 54,49
3.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RA = 82 kN
Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.
Yayılı yükün bileşkesi
W = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m
Düşey denge
RA = P + W = 10 + 72 = 82 kN
Cevap
RA = 82 kN
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RB = 22,8 kN
Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.
Serbest cisim diyagramı
Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 20·9 + 8·2·3
RB = 228/10 = 22,8 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 22,8 = 13,2 kN
Cevap
RB = 22,8 kN
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: CG elemanı
Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.
G düğüm noktası
FG ve GH aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin
Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·4 − 15·3 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 35 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
By = 12·2,25/6 = 4,5 kN
BC bacağı: C’ye göre momentler
4,5·3 = T·1,5
T = 9 kN
Cevap
T = 9 kN
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: T = 17,29 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Kablo açısı
BC = √(2² + 2,5²) = 3,202 m, sin β = 0,7809
A’ya göre momentler
T·0,7809·2 = 12·2 + 3·1
T = 17,29 kN
Cevap
T = 17,29 kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = 45 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2 + 20·5
RB = 210/4 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 52,5 = 22,5 kN
P1 altından kesin ve sol parçayı tutun
Mx = RA·2 = 22,5·2 = 45 kN·m
Cevap
Mx = 45 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: x0 = 5 m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 16·6 = 96 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 16·6·5
RB = 480/10 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
Sıfır kesme kuvveti
Kesme kuvveti RA ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 48/16 = 5 m
Cevap
x0 = 5 m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 16,97 × 10⁶ mm⁴
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 300·25 = 7500 mm², yf = 180 + 25/2 = 192,5 mm
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.