Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
Sabit bir F = (30, 10, 5) N kuvveti, bir cisme A(5, −1, −1) noktasından B(4, −5, −5) noktasına doğrusal hareket ederken etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin yaptığı işi W bulun.
F = (30, 10, 5) NA(5, −1, −1) mB(4, −5, −5) m
W = J
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
n̂ birim vektörü hem a = (4, −2, 2) hem de b = (4, 0, −1) vektörüne diktir ve pozitif z bileşenine sahiptir. Onun y bileşenini n̂y bulun.
a = (4, −2, 2)b = (4, 0, −1)n̂z > 0
n̂y =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 9 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 2 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.
L = 10 mP = 60 kN @ 9 mM = 30 kN·m (saat yönünde) @ 2 m
RB = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4,5 m uzaklıkta yatayla 45° açı yapan bir P yükü ve A’dan 1,5 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvveti ile yatay arasındaki açı α değerini bulun.
L = 5 mP = 10 kN @ 4,5 m, θ = 45°Q = 50 kN @ 1,5 m
α = °
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.
B: 15 kN ↓G: 20 kN ↓
1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.
açıklık = 5 myükseklik = 4 mB, A’dan 4 m uzaktadüşey yük = 55 kNyatay yük = 10 kN →
FAB = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 2 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor. Bacaklar 4 m yüksekteki C pimi’nde buluşuyor ve yatay DE bağı zeminden 2 m yukarıda. C’de 20 kN’luk bir yük etkiyor. C pimi’nin BC bacağına uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü C bulun.
P = 20 kNAB = 2 mC’nin yüksekliği = 4 mDE’nin yüksekliği = 2 m
C = kN
8.Çerçeveler ve makinelerZor
Ağırlığı 0,5 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve B’den duvardaki, A’nın 1 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 2 kN’luk bir yük asılıdır. Pim tepkisinin büyüklüğünü A bulun.
W = 2 kNWb = 0,5 kNAB = 2,5 mAC = 1 m
A = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.
60 kN @ 4 m30 kN @ 5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. A’dan mesnetler arasındaki dönüm noktasına (eğilme momentinin işaret değiştirdiği yere) olan uzaklık xc değerini bulun.
L = 7 mw = 2 kN/m, 0 ile 7 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında
xc = m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
120 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 80 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.
b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
150 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 40 mm genişliğinde ve 30 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 195 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.
b = 150 mmh = 300 mmkesik: 40 × 30 mmdelik merkezi: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Çözeltiler
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: W = −90 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Yer değiştirme
d = B − A = (4, −5, −5) − (5, −1, −1) = (−1, −4, −4) m
İş
W = F·d = 30·(−1) + 10·(−4) + 5·(−4) = −90 J
Cevap
W = −90 J
Negatif iş: kuvvet çoğunlukla harekete karşı etki ediyor.
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: n̂y = 0,8242
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektörel çarpım
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·(−1) − 2·0 = 2
(a × b)y = azbx − axbz = 2·4 − 4·(−1) = 12
(a × b)z = axby − aybx = 4·0 − (−2)·4 = 8
Normalleştirin
a × b’nin z bileşeni zaten pozitiftir.
|a × b| = √(2² + 12² + 8²) = 14,56
n̂ = (2, 12, 8)/14,56 = (0,1374, 0,8242, 0,5494)
n̂y = 0,8242
Cevap
n̂y = 0,8242
3.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RB = 57 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
A’ya göre momentler
Saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: RB·10 − 60·9 − 30 = 0
RB = 570/10 = 57 kN
Düşey denge
RA = 60 − 57 = 3 kN
Cevap
RB = 57 kN
Negatif tepki aşağı doğru etkir.
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: α = 78,8 °
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.
C düğüm noktası
BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin
Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·4 + 10·4 → Cy = 52 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 52 = 3 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
A düğümü
Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.
sin α = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3/0,7071 = −4,243 kN
Cevap
FAB = −4,243 kN (basınç)
7.Çerçeveler ve makineler
Cevap: C = 11,18 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
BC bacağından bağ kuvveti
By = 10 kN
T = 10·1/2 = 5 kN
BC üzerindeki pim kuvvetinin bileşenleri
Cx = T = 5 kN, Cy = −By = −10 kN
Büyüklük
C = √(5² + 10²) = 11,18 kN
Cevap
C = 11,18 kN
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: A = 5,631 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Kablodaki çekme kuvveti
T = (2 + 0,5/2)/0,3714 = 6,058 kN
A’daki bileşenler
Ax = T·cos β = 5,625 kN
Ay = 2 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN
Büyüklük
A = √(5,625² + 0,25²) = 5,631 kN
Cevap
A = 5,631 kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: E (x = 4 m)
En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.
Mesnet tepkileri
Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.
R1 = 25 kN, R2 = 65 kN
Her işaretteki eğilme momenti
Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.
MA = 0, MB = 25, MC = 50, MD = 75, ME = 100 kN·m, MF = 65, MG = 0
Cevap
İşaret E: ME = 100 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: xc = 4,2 m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.
Mesnet tepkileri
Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, x̄ = 3,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 2·7·3,5
RB = 49/5 = 9,8 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 9,8 = 4,2 kN
Sıfır moment
Mesnetler arasında M(x) = RA·x − w·x²/2. x = 0 dışında x = 2RA/w’de sıfırdır.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·4,2/2 = 4,2 m
Cevap
xc = 4,2 m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.
Ağırlık merkezi
ȳ = (24000·100 − 706,9·80)/(24000 − 706,9) = 100,6 mm
Tam levha, ȳ’ye göre
120·200³/12 + 24000·−0,6069² = 80,01 × 10⁶ mm⁴
Delik, ȳ’ye göre
π·30⁴/64 + 706,9·−20,61² = 0,3399 × 10⁶ mm⁴
Çıkarın
Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
Cevap
Ix = 79,67 × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 334,9 × 10⁶ mm⁴
Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.
Ağırlık merkezi
ȳ = (45000·150 − 1200·195)/(45000 − 1200) = 148,8 mm