Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
a = (−3, −4, 0) ve b = (2, −2, 2) vektörlerinin skaler çarpımını a·b bulun.
a = (−3, −4, 0)b = (2, −2, 2)
a·b =
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
Bir köşeden çıkan kenarları a = (−2, −1, 3), b = (4, 5, −4) ve c = (0, 3, −4) olan paralelyüzlünün hacmini V bulun.
a = (−2, −1, 3)b = (4, 5, −4)c = (0, 3, −4)
V =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 2 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 9 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.
L = 10 mP = 35 kN @ 2 mM = 60 kN·m (saat yönünde) @ 9 m
RA = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 3 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 0,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 2,5 m konumundan 4 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.
AB = 3 mAC = 4 mP = 20 kN @ 0,5 mw = 12 kN/m, 2,5 ile 4 m arasında
RA = kN
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.
açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 55 kNyatay yük = 15 kN ←
FBC = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 6 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor. Bacaklar 4 m yüksekteki C pimi’nde buluşuyor ve yatay DE bağı zeminden 2 m yukarıda. C’de 4 kN’luk bir yük etkiyor. C pimi’nin BC bacağına uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü C bulun.
P = 4 kNAB = 6 mC’nin yüksekliği = 4 mDE’nin yüksekliği = 2 m
C = kN
8.Çerçeveler ve makinelerZor
Bir mafsallı pres, pimler arasında her biri 100 mm uzunluğunda iki eşit AB ve BC bağlantı elemanına sahiptir. B bağlantısı AC doğrusunun 12 mm üzerindedir. B’deki hangi aşağı yönlü kuvvet F, C kızağında 1500 N’luk yatay bir presleme kuvveti üretir? Sürtünmeyi ve ağırlıkları yok sayın.
Q = 1500 NAB = BC = 100 mmh = 12 mm
F = N
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti MA değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 3 mP = 20 kN @ 3 mw = 5 kN/m, 0 ile 3 m arasında
MA = kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
A mesnedinden x = 6 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 10 mP = 55 kN @ 6 mw = 3 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 6 m
Mx = kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.
bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 30 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σüst değerinin büyüklüğünü bulun.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Karşılıklı bileşenleri çarpıp toplayın
a·b = (−3)·2 + (−4)·(−2) + 0·2 = (−6) + 8 + 0 = 2
Cevap
a·b = 2
Pozitif: vektörler arasındaki açı 90°’den küçüktür.
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: V = 36
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektörel çarpım b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 5·(−4) − (−4)·3 = −8
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−4)·0 − 4·(−4) = 16
(b × c)z = bxcy − bycx = 4·3 − 5·0 = 12
a ile skaler çarpım
a·(b × c) = (−2)·(−8) + (−1)·16 + 3·12 = 36
V = |36| = 36
Cevap
V = 36
3.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RA = 22 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
A’ya göre momentler
Saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: RB·10 − 35·2 − 60 = 0
RB = 130/10 = 13 kN
Düşey denge
RA = 35 − 13 = 22 kN
Cevap
RA = 22 kN
Negatif tepki aşağı doğru etkir.
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RA = 15,17 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
Yayılı yükün bileşkesi
W = 12·1,5 = 18 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·3 = 20·0,5 + 18·3,25
RB = 68,5/3 = 22,83 kN
RA = 38 − 22,83 = 15,17 kN
Cevap
RA = 15,17 kN
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: CG elemanı
Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.
C düğüm noktası
BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin
Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·2 − 15·2 → Cy = 13,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13,33 = 41,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
BC bacağından bağ kuvveti
By = 2 kN
T = 2·3/2 = 3 kN
BC üzerindeki pim kuvvetinin bileşenleri
Cx = T = 3 kN, Cy = −By = −2 kN
Büyüklük
C = √(3² + 2²) = 3,606 kN
Cevap
C = 3,606 kN
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: F = 362,6 N
Makineler: penseler, kaldıraçlar, bağlantı sistemleri ve kıskaçlar bir giriş kuvvetini daha büyük ya da farklı yönlü bir çıkış kuvvetine çevirir. Bir parçayı serbest cisim olarak çizin ve dönme noktasına göre moment alın: pim kuvveti denklemden çıkar ve Fin·a = Fout·b mekanik kazancı a/b olarak verir. Pim kuvveti, aynı parça için ΣF = 0 denkleminden bulunur. Mafsallı bir mengenede iki bağlantı elemanı sığ bir θ açısıyla buluşur; her bağlantı elemanı bir iki kuvvet elemanıdır, bu yüzden bağlantı noktasındaki küçük bir F kuvveti büyük F/(2 sin θ) eleman kuvvetleri ve F/(2 tan θ) sıkma kuvveti oluşturur.
Bağlantı elemanı açısı
sin θ = 12/100 = 0,12, θ = 6,892°
Bağlantı elemanı kuvveti
Flink = Q/cos θ = 1511 N
B’deki kuvvet
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 362,6 N
Cevap
F = 362,6 N
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: MA = −82,5 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Serbest uçtaki parçayı tutun
P: −20·3 = −60 kN·m
w: −5·3²/2 = −22,5 kN·m
MA = −60 − 22,5 = −82,5 kN·m
Cevap
MA = −82,5 kN·m
Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = 168 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 55·6 + 3·10·5
RB = 480/10 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 48 = 37 kN
x = 6 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun
Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.
M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 37·6 − 3·6·3 = 168 kN·m
Cevap
Mx = 168 kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 8,871 × 10⁶ mm⁴
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 140 + 15/2 = 147,5 mm
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
gövde: Aw = 14·200 = 2800 mm², yw = 200/2 = 100 mm