Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
a = (5, −6, 2) ve b = (−5, 3, 5) vektörleri arasındaki θ açısını derece cinsinden bulun.
a = (5, −6, 2)b = (−5, 3, 5)
θ = °
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
F = (−50, 10, −20) N kuvveti A(1, 2, −3) noktasına etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin O(0, 0, 0) orijini noktasına göre momentinin x bileşenini Mx bulun.
F = (−50, 10, −20) NA(1, 2, −3) mO(0, 0, 0) m
Mx = N·m
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.
L = 10 mP1 = 20 kN @ 7 mP2 = 40 kN @ 8 m
RA = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 5 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 5 m konumundan 8 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.
AB = 5 mAC = 8 mP = 15 kN @ 3 mw = 12 kN/m, 5 ile 8 m arasında
RB = kN
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.
B: 35 kN ↓G: 15 kN ↓
1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.
B: 20 kN ↓F: 40 kN ↓F: 40 kN →
1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen mafsallı sıkıştırma mengenesinde, eşit AB ve BC bağlantı elemanları B’de birbirine pimlenmiştir ve her biri AC doğrusuyla 12° yapar. B’ye 250 N’luk aşağı yönlü bir kuvvet uygulanır. C kızağı bir iş parçasına bastırır. Sürtünmeyi ve ağırlıkları yok sayarak yatay sıkma kuvvetini Q bulun.
F = 250 Nθ = 12°
Q = N
8.Çerçeveler ve makinelerZor
Bir mafsallı pres, pimler arasında her biri 120 mm uzunluğunda iki eşit AB ve BC bağlantı elemanına sahiptir. B bağlantısı AC doğrusunun 5 mm üzerindedir. B’deki hangi aşağı yönlü kuvvet F, C kızağında 2500 N’luk yatay bir presleme kuvveti üretir? Sürtünmeyi ve ağırlıkları yok sayın.
Q = 2500 NAB = BC = 120 mmh = 5 mm
F = N
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.
25 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.
L = 6 mw = 16 kN/m, 3 ile 5 m arasında
Mmax = kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
Simetrik bir I kesitin başlıkları 130 mm genişliğinde ve 20 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 220 mm ve gövdesi 8 mm kalınlığındadır. Yatay ağırlık merkezi ekseni x’e göre eğilme için elastik kesit modülü Sx değerini bulun.
B = 130 mmH = 220 mmtf = 20 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 15 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σalt değerini bulun.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaler çarpım
a·b = 5·(−5) + (−6)·3 + 2·5 = −33
Büyüklükler
|a| = √(5² + (−6)² + 2²) = 8,062
|b| = √((−5)² + 3² + 5²) = 7,681
Açı
cos θ = −33/(8,062·7,681) = −0,5329
θ = arccos(−0,5329) = 122,2°
Cevap
θ = 122,2°
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: Mx = −10 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.
Serbest cisim diyagramı
Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·10 = 20·7 + 40·8
RB = 460/10 = 46 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 46 = 14 kN
Cevap
RA = 14 kN
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RB = 55,8 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
Yayılı yükün bileşkesi
W = 12·3 = 36 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6,5 m
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·5 = 15·3 + 36·6,5
RB = 279/5 = 55,8 kN
RA = 51 − 55,8 = −4,8 kN
Cevap
RB = 55,8 kN
RA negatif: A’daki mafsal kirişi aşağı tutmak zorundadır.
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: CG elemanı
Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.
C düğüm noktası
BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin
Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).
Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.
C düğüm noktası
BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin
Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).
Makineler: penseler, kaldıraçlar, bağlantı sistemleri ve kıskaçlar bir giriş kuvvetini daha büyük ya da farklı yönlü bir çıkış kuvvetine çevirir. Bir parçayı serbest cisim olarak çizin ve dönme noktasına göre moment alın: pim kuvveti denklemden çıkar ve Fin·a = Fout·b mekanik kazancı a/b olarak verir. Pim kuvveti, aynı parça için ΣF = 0 denkleminden bulunur. Mafsallı bir mengenede iki bağlantı elemanı sığ bir θ açısıyla buluşur; her bağlantı elemanı bir iki kuvvet elemanıdır, bu yüzden bağlantı noktasındaki küçük bir F kuvveti büyük F/(2 sin θ) eleman kuvvetleri ve F/(2 tan θ) sıkma kuvveti oluşturur.
B pimi dengesi
2·Flink·sin 12° = 250
Flink = 601,2 N
Sıkma kuvveti
Q = Flink·cos 12° = 250/(2·tan 12°) = 588,1 N
Cevap
Q = 588,1 N
Bağlantı elemanları düzleştikçe Q/F = 2,352 kuvvet oranı sınırsız büyür.
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: F = 208,5 N
Makineler: penseler, kaldıraçlar, bağlantı sistemleri ve kıskaçlar bir giriş kuvvetini daha büyük ya da farklı yönlü bir çıkış kuvvetine çevirir. Bir parçayı serbest cisim olarak çizin ve dönme noktasına göre moment alın: pim kuvveti denklemden çıkar ve Fin·a = Fout·b mekanik kazancı a/b olarak verir. Pim kuvveti, aynı parça için ΣF = 0 denkleminden bulunur. Mafsallı bir mengenede iki bağlantı elemanı sığ bir θ açısıyla buluşur; her bağlantı elemanı bir iki kuvvet elemanıdır, bu yüzden bağlantı noktasındaki küçük bir F kuvveti büyük F/(2 sin θ) eleman kuvvetleri ve F/(2 tan θ) sıkma kuvveti oluşturur.
Bağlantı elemanı açısı
sin θ = 5/120 = 0,04167, θ = 2,388°
Bağlantı elemanı kuvveti
Flink = Q/cos θ = 2502 N
B’deki kuvvet
F = 2·Flink·sin θ = 2·2500·tan θ = 208,5 N
Cevap
F = 208,5 N
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: D (x = 3 m)
En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.
Mesnet tepkileri
Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.
R1 = 24,5 kN, R2 = 24,5 kN
Her işaretteki eğilme momenti
Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.
MA = 0, MB = 22,5, MC = 41, MD = 55,5 kN·m, ME = 41, MF = 22,5, MG = 0
Cevap
İşaret D: MD = 55,5 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mmax = 35,56 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 16·2·4
RB = 128/6 = 21,33 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 21,33 = 10,67 kN
Sıfır kesme kuvveti
Kesme kuvveti RA ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.
Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = Ic + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır.
Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk
İki boşluk birlikte (B − tw) genişliğinde ve hw = H − 2tf yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm