Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (−5, −4, 4) ve b = (−3, 5, 1) vektörlerinin skaler çarpımını a·b bulun.

a = (−5, −4, 4)b = (−3, 5, 1)

a·b =

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

Bir köşeden çıkan kenarları a = (−5, −5, 5), b = (1, −4, 1) ve c = (−4, 4, 2) olan paralelyüzlünün hacmini V bulun.

a = (−5, −5, 5)b = (1, −4, 1)c = (−4, 4, 2)

V =

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da sıfırdan B’de 4 kN/m değerine doğrusal artan bir yük taşır. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 4 mw₀ = 4 kN/m

R_B = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 6 mP = 40 kN @ 1,5 mw = 3 kN/m, 3 ile 5 m arasında

R_B = kN

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 30 kN

F_AC = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 3 mB, A’dan 6 m uzaktadüşey yük = 40 kNyatay yük = 15 kN →

F_BC = kN

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 6 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor; tepe pimi C 3 m yüksekte, yatay DE bağı ise zeminden 1 m yukarıda. AC bacağına, A’dan (yatayda) 1,8 m uzaktaki K noktasında 4 kN’luk düşey bir yük etkiyor. Bağdaki çekme kuvvetini T bulun.

P = 4 kNAB = 6 mC’nin yüksekliği = 3 mDE’nin yüksekliği = 1 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 1,8 m

T = kN

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Ağırlığı 0,5 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve ucu B’den duvardaki, A’nın 4 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 2 kN’luk bir yük asılıdır. Kablodaki çekme kuvvetini T bulun.

W = 2 kNW_b = 0,5 kNAB = 4 mAC = 4 m

T = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 8 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

20 kN @ 12 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

120 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 120 mm yukarıda olan 60 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmdelik merkezi: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

120 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 80 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 72 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 120 mmh = 240 mmkesik: 80 × 20 mmdelik merkezi: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: a·b = −1

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Karşılıklı bileşenleri çarpıp toplayın

a·b = (−5)·(−3) + (−4)·5 + 4·1 = 15 + (−20) + 4 = −1

Cevap

a·b = −1

Negatif: vektörler arasındaki açı 90°’den büyüktür.

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: V = 30

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektörel çarpım b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·2 − 1·4 = −12

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·(−4) − 1·2 = −6

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·4 − (−4)·(−4) = −12

a ile skaler çarpım

a·(b × c) = (−5)·(−12) + (−5)·(−6) + 5·(−12) = 30

V = |30| = 30

Cevap

V = 30

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 5,333 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·2,667

R_B = 5,333 kN

R_A = 8 − 5,333 = 2,667 kN

Cevap

R_B = 5,333 kN

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 14 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·1,5 + 3·2·4

R_B = 84/6 = 14 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 14 = 32 kN

Cevap

R_B = 14 kN

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 20 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 10 = 20 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,4472 = −22,36 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,36)·0,8944 = 20 kN

Cevap

F_AC = 20 kN (çekme)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −42,82 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·6 + 15·3 → C_y = 35,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 35,63 = 4,375 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −35,63/0,8321 = −42,82 kN

Cevap

F_BC = −42,82 kN (basınç)

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: T = 1,8 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

Tüm çerçeve: A’ya göre momentler

B_y = 4·1,8/6 = 1,2 kN

BC bacağı: C’ye göre momentler

1,2·3 = T·2

T = 1,8 kN

Cevap

T = 1,8 kN

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: T = 3,182 kN

Kablo açısı

BC = √(4² + 4²) = 5,657 m, sin β = 0,7071

A’ya göre momentler

T·0,7071·4 = 2·4 + 0,5·2

T = 3,182 kN

Cevap

T = 3,182 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 19 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

x = 0,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 40·0,5 − 8·0,5·0,25 = 19 kN·m

Cevap

M_x = 19 kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 44 kN, R₂ = 36 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 88 kN·m, M_C = 56, M_D = 24, M_E = −8, M_F = −40, M_G = 0

Cevap

İşaret B: M_B = 88 kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (24000·100 − 2827·120)/(24000 − 2827) = 97,33 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·200³/12 + 24000·2,671² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·60⁴/64 + 2827·22,67² = 2,089 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 134,3 × 10⁶ mm⁴

Ağırlık merkezi

ȳ = (28800·120 − 1600·72)/(28800 − 1600) = 122,8 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·240³/12 + 28800·−2,824² = 138,5 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

80·20³/12 + 1600·−50,82² = 4,186 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 134,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 134,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics