İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 38, 39, 27, 30, 48, 24.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 59 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 15x = 59

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,2k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 178,35 ile 185,35 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 178,35x₂ = 185,35

P =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %15 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

21 birimlik bir örneklemin ortalaması 47,5 ve standart sapması s = 7,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 21x̄ = 47,5s = 7,599%t(20) = 2,845

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 27. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 27E = 190%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 12 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 248,64. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ < 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 250σ = 12n = 144x̄ = 248,64H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ > 50 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 10 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 54,2’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 54,2σ = 10n = 25α = 0,01

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (24,5, 88) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(24,5, 88)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 8,959

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 206/6 = 34,33

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 3,667² + 4,667² + (−7,333)² + (−4,333)² + 13,67² + (−10,33)² = 401,3

Standart sapma

s = √(401,3/5) = 8,959

Cevap

s = 8,959

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,6

Standartlaştırın

z = (59 − 50)/15 = 0,6

Cevap

z = 0,6

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 0,6475

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Varyans

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Cevap

Var(X) = 0,6475

4.Olasılık

Cevap: P = 0,08192

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 3) = 20·0,2³·0,8³ = 20·0,008·0,512 = 0,08192

Cevap

P = 0,08192

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3332

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (178,35 − 178)/7 = 0,05

z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

Aradaki alan

P = Φ(1,05) − Φ(0,05) = 0,8531 − 0,5199 = 0,3332

Cevap

P = 0,3332

6.Normal dağılım

Cevap: x = 458 h

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,15

Tablodan z

z ≈ −1,04

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Cevap

x = 458 h

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 42,84

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Hata payı

E = 2,845·7,5/√21 = 4,656

Aralık

47,5 ± 4,656 → [42,84, 52,16]

Cevap

alt sınır = 42,84

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1973

n'yi çözün

n = (1,645·27/1)² = 1973

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 1973

Cevap

n = 1973

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,08692

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (248,64 − 250)/1 = −1,36

Kuyruk alanı

Φ(1,36) = 0,9131

1 − Φ(1,36) = 0,0869

p-değeri

p = 0,08692

Cevap

p = 0,08692

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 41,06 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 50 + 2,326·2 = 54,65

Gerçek ortalama altında z

z = (54,65 − 54,2)/2 = 0,226

Güç

güç = P(Z > 0,226) = 41,06%

1 − β = 41,06%

Cevap

1 − β = 41,06%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9827

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 124/6 = 20,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 653,3

Belirlilik katsayısı

r² = 212²/(70·653,3) = 0,9827

Cevap

r² = 0,9827

y’deki değişimin yaklaşık %98,27’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,833

Ortalamalar

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 499/6 = 83,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 637,5

Regresyon doğrusu

b = 637,5/157,5 = 4,048

a = 83,17 − 4,048·24,5 = −16

ŷ = −16 + 4,048·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −16 + 4,048·24,5 = 83,17

Artık

e = 88 − 83,17 = 4,833

Cevap

e = 4,833

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1