İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 35, 51, 53, 57, 26, 20.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 50 olan normal dağılımlıdır. 425 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 50x = 425

z =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 6 kırmızı ve 6 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

6 / 6

P =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,1 olasılıkla €40, 0,02 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €10€40: p = 0,1€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 242 ile 260 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 242x₂ = 260

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %30 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 100 puanσ = 15 puan30%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

50 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 5,8. 100 gözleme dayanan %90 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 50E₁ = 5,890%n₂ = 100

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 11 parsel, ortalama verim 21 kg, standart sapma 8 kg. Parsel grubu 2: 11 parsel, ortalama 10,5 kg, standart sapma 5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 11x̄₁ = 21s₁ = 8n₂ = 11x̄₂ = 10,5s₂ = 595%t(20) = 2,086

üst sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 8 öğrenci, ortalama puan 55,5, standart sapma 9. Grup 2: 13 öğrenci, ortalama puan 64,2, standart sapma 7,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 55,5s₁ = 9n₂ = 13x̄₂ = 64,2s₂ = 7,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

36 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 499,2. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 499,2σ = 5n = 3690%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 60 tahmin eder?

n = 5ŷ = 60

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,49

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 242/6 = 40,33

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−5,333)² + 10,67² + 12,67² + 16,67² + (−14,33)² + (−20,33)² = 1199

Standart sapma

s = √(1199/5) = 15,49

Cevap

s = 15,49

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (425 − 500)/50 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: P = 0,2273

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273

Cevap

P = 0,2273

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −4 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 30 (p = 0,1), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,88)

Beklenen değer

E(G) = 30·0,1 + 90·0,02 − 10·0,88 = −4 €

Cevap

E(G) = −4 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9225

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

Aradaki alan

P = Φ(2) − Φ(−1,6) = 0,9772 − 0,0548 = 0,9225

Cevap

P = 0,9225

6.Normal dağılım

Cevap: x = 107,8 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,7

Tablodan z

z ≈ 0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 puan

Cevap

x = 107,8 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 3,442

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/100) = 0,5935

Yeni hata payı

E₂ = 5,8·0,5935 = 3,442

Cevap

E₂ = 3,442

8.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 16,43 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (10·8² + 10·5²)/20 = 44,5

s_p = 6,671

Hata payı

E = 2,086·6,671·√(1/11 + 1/11) = 5,934

Aralık

10,5 ± 5,934 → [4,566, 16,43]

Cevap

üst sınır = 16,43 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,395

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (7·9² + 12·7,5²)/19 = 65,37

s_p = 8,085

Standart hata

SE = 8,085·√(1/8 + 1/13) = 3,633

Test istatistiği

t = (55,5 − 64,2)/3,633 = −2,395

Cevap

t = −2,395

df = 19 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,093; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 497,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·5/√36 = 1,371

Aralık sınırı

L = 499,2 − 1,371 = 497,8

Cevap

L = 497,8

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9782

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 139/6 = 23,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 38,83

Korelasyon katsayısı

r = −25,5/√(17,5·38,83) = −0,9782

Cevap

r = −0,9782

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 21

Ortalamalar

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 264/5 = 52,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Regresyon doğrusu

b = 96/40 = 2,4

a = 52,8 − 2,4·18 = 9,6

ŷ = 9,6 + 2,4·x

x için çözün

x = (60 − 9,6)/2,4 = 21

Cevap

x = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1