Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 19, 33, 55, 33, 43, 24.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 66'ün altındadır?
μ = 70σ = 5x = 66
P =
3.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 4
P =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,1 olasılıkla €9, 0,01 olasılıkla €150 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €3€9: p = 0,1€150: p = 0,01
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 32 ile 37,1 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 37,1
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
8 birimlik bir örneklemin ortalaması 13,5 ve standart sapması s = 9,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 8x̄ = 13,5s = 9,599%t(7) = 3,499
E =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 35. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 35E = 0,595%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
100 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 100,8, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 100x̄ = 100,8s = 5n = 100
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 150 hastadan 45’i, B tedavisi alan 200 hastadan 42’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 45n₁ = 150x₂ = 42n₂ = 200
z =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (6, 60) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(6, 60)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 13,02
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 207/6 = 34,5
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−15,5)² + (−1,5)² + 20,5² + (−1,5)² + 8,5² + (−10,5)² = 847,5
Standart sapma
s = √(847,5/5) = 13,02
Cevap
s = 13,02
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2119
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,8
Standart normal tablo
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Cevap
P = 0,2119
3.Olasılık
Cevap: P = 0,5177
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Cevap
P = 0,5177
4.Olasılık
Cevap: E(G) = −0,6 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 6 (p = 0,1), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,89)
Beklenen değer
E(G) = 6·0,1 + 147·0,01 − 3·0,89 = −0,6 €
Cevap
E(G) = −0,6 €
Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,3023
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85
Aradaki alan
P = Φ(0,85) − Φ(0) = 0,8023 − 0,5 = 0,3023
Cevap
P = 0,3023
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9868
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Olasılık
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Cevap
P = 0,9868
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 11,75
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Hata payı
E = 3,499·9,5/√8 = 11,75
Cevap
E = 11,75
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 18824
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·35/0,5)² = 18824
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 18824
Cevap
n = 18824
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,6
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5
Test istatistiği
t = (100,8 − 100)/0,5 = 1,6
Cevap
t = 1,6
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 1,928
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 45/150 = 0,3
p̂₂ = 42/200 = 0,21
p̂ = 87/350 = 0,2486
H₀ altında standart hata
SE = √(0,2486·0,7514·(1/150 + 1/200)) = 0,04668
Test istatistiği
z = (0,3 − 0,21)/0,04668 = 1,928
Cevap
z = 1,928
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9377
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 408/6 = 68
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
Syy = Σ(y − ȳ)² = 792
Belirlilik katsayısı
r² = 228²/(70·792) = 0,9377
Cevap
r² = 0,9377
y’deki değişimin yaklaşık %93,77’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 5
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 260/5 = 52
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120
Regresyon doğrusu
b = 120/40 = 3
a = 52 − 3·5 = 37
ŷ = 37 + 3·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 37 + 3·6 = 55
Artık
e = 60 − 55 = 5
Cevap
e = 5
Nokta doğrunun üstündedir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1