İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 53, 25, 15, 37, 38, 38, 27.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 110'ün üstündedir?

μ = 100σ = 5x = 110

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 6 kırmızı ve 7 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

6 / 7

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 10. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3Y = 5X + 10

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,8790 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8790

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %10 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan10%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 10,5. 25 gözleme dayanan %95 aralığın hata payı E₂ nedir?

90%n₁ = 100E₁ = 10,595%n₂ = 25

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,1 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,04 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,1E = 0,0495%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 52,55, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 52,55s = 12n = 64

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 150 hastadan 60’i, B tedavisi alan 100 hastadan 33’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 60n₁ = 150x₂ = 33n₂ = 100

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 120Σy = 343Σx² = 2970Σy² = 24403Σxy = 8511

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 30 tahmin eder?

n = 5ŷ = 30

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,18

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 233/7 = 33,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 19,71² + (−8,286)² + (−18,29)² + 3,714² + 4,714² + 4,714² + (−6,286)² = 889,4

Standart sapma

s = √(889,4/6) = 12,18

Cevap

s = 12,18

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,02275

Standartlaştırın

z = 2

Standart normal tablo

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1923

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Cevap

P = 0,1923

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 8,888

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 3,8, Var(X) = 3,16, σ_X = 1,778

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·1,778 = 8,888

Cevap

σ_Y = 8,888

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·3,8 + 10 = 29.

5.Normal dağılım

Cevap: z = −1,17

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,8790 = 0,1210

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,1210 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −1,17

Cevap

z = −1,17

6.Normal dağılım

Cevap: x = 52,2 puan

Soldaki alan

Φ(z) = 0,1

Tablodan z

z ≈ −1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 puan

Cevap

x = 52,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 25,02

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/25) = 2,383

Yeni hata payı

E₂ = 10,5·2,383 = 25,02

Cevap

E₂ = 25,02

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 217

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,1·0,9/0,04² = 216,1

Yukarı yuvarlayın

n = 217

Cevap

n = 217

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Test istatistiği

t = (52,55 − 50)/1,5 = 1,7

Cevap

t = 1,7

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 1,122

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Örneklem oranları

p̂₁ = 60/150 = 0,4

p̂₂ = 33/100 = 0,33

p̂ = 93/250 = 0,372

H₀ altında standart hata

SE = √(0,372·0,628·(1/150 + 1/100)) = 0,0624

Test istatistiği

z = (0,4 − 0,33)/0,0624 = 1,122

Cevap

z = 1,122

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9952

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 8511 − 120·343/5 = 279

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 24403 − 343²/5 = 873,2

Korelasyon katsayısı

r = 279/√(90·873,2) = 0,9952

Cevap

r = 0,9952

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 9,118

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 97/5 = 19,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Regresyon doğrusu

b = 136/40 = 3,4

a = 19,4 − 3,4·6 = −1

ŷ = −1 + 3,4·x

x için çözün

x = (30 − (−1))/3,4 = 9,118

Cevap

x = 9,118

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1