İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 53, 27, 49, 12, 42.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 55,6'ün altındadır?

μ = 70σ = 12x = 55,6

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 7

P =

4.OlasılıkZor

6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,4 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,4

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 200,4 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,4 mm

P =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

30 birimlik bir örneklemin ortalaması 98,5 ve standart sapması s = 4. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 30x̄ = 98,5s = 499%t(29) = 2,756

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,2 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,2E = 0,02595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

6 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −1,94 ve farkların standart sapması 1,7. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 6d̄ = −1,94s_d = 1,7

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 121,1. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 121,1σ = 15n = 1695%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (5, 16) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(5, 16)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,95

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 183/5 = 36,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 16,4² + (−9,6)² + 12,4² + (−24,6)² + 5,4² = 1149

Standart sapma

s = √(1149/4) = 16,95

Cevap

s = 16,95

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1151

Standartlaştırın

z = −1,2

Standart normal tablo

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Cevap

P = 0,1151

3.Olasılık

Cevap: P = 0,7209

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Cevap

P = 0,7209

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2333

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Toplayın

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Cevap

P = 0,2333

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,2119

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

6.Normal dağılım

Cevap: x = 45,96 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Cevap

x = 45,96 min

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 96,49

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Hata payı

E = 2,756·4/√30 = 2,013

Aralık

98,5 ± 2,013 → [96,49, 100,5]

Cevap

alt sınır = 96,49

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 984

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,2·0,8/0,025² = 983,4

Yukarı yuvarlayın

n = 984

Cevap

n = 984

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,795

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 1,7/√6 = 0,694

Test istatistiği

t = −1,94/0,694 = −2,795

Cevap

t = −2,795

df = 5 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,571; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 113,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,96·15/√16 = 7,35

Aralık sınırı

L = 121,1 − 7,35 = 113,8

Cevap

L = 113,8

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9922

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 103/5 = 20,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 429,2

Korelasyon katsayısı

r = 130/√(40·429,2) = 0,9922

Cevap

r = 0,9922

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,276

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 94/6 = 15,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

Regresyon doğrusu

b = 138/70 = 1,971

a = 15,67 − 1,971·7 = 1,867

ŷ = 1,867 + 1,971·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 1,867 + 1,971·5 = 11,72

Artık

e = 16 − 11,72 = 4,276

Cevap

e = 4,276

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1