İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 30, 26, 29, 20, 36.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 84 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 8x = 84

z =

3.OlasılıkOrta

15 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 15k = 4

N =

4.OlasılıkZor

Bir testte 8 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,2k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,7415 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,7415

z =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 11,1. 16 gözleme dayanan %90 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 64E₁ = 11,190%n₂ = 16

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 34. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 34E = 495%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 7 öğrenci, ortalama puan 43, standart sapma 8. Grup 2: 7 öğrenci, ortalama puan 55, standart sapma 12. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 7x̄₁ = 43s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 55s₂ = 12

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2,5 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 7. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 95%δ = 2,5σ = 7z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 17,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 17,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 5,848

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 141/5 = 28,2

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 1,8² + (−2,2)² + 0,8² + (−8,2)² + 7,8² = 136,8

Standart sapma

s = √(136,8/4) = 5,848

Cevap

s = 5,848

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −2

Standartlaştırın

z = (84 − 100)/8 = −2

Cevap

z = −2

3.Olasılık

Cevap: N = 1365

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

Cevap

N = 1365

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2936

Binom formülü

P(X = 2) = 28·0,2²·0,8⁶ = 28·0,04·0,2621 = 0,2936

Cevap

P = 0,2936

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,13

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,7415)/2 = 0,8708

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8708 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,13

Cevap

z = 1,13

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8849

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Cevap

P = 0,8849

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 18,63

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(64/16) = 1,679

Yeni hata payı

E₂ = 11,1·1,679 = 18,63

Cevap

E₂ = 18,63

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 278

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·34/4)² = 277,6

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 278

Cevap

n = 278

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,201

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (6·8² + 6·12²)/12 = 104

s_p = 10,2

Standart hata

SE = 10,2·√(1/7 + 1/7) = 5,451

Test istatistiği

t = (43 − 55)/5,451 = −2,201

Cevap

t = −2,201

df = 12 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,179; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 85

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,645)·7/2,5)² = 84,86

Yukarı yuvarlayın

n = 85

Cevap

n = 85

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9463

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 402/6 = 67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 616

Belirlilik katsayısı

r² = 202²/(70·616) = 0,9463

Cevap

r² = 0,9463

y’deki değişimin yaklaşık %94,63’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 68,35

Ortalamalar

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 446/5 = 89,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 417

Regresyon doğrusu

b = 417/90 = 4,633

a = 89,2 − 4,633·22 = −12,73

ŷ = −12,73 + 4,633·x

Tahmin

ŷ = −12,73 + 4,633·17,5 = 68,35

Cevap

ŷ = 68,35

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1